Номер 6, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Диагонали AC и BD ромба ABCD равны соответственно 8 и 6.

Найдите длину вектора:

а) $ \vec{AB} - \vec{AD} $;

б) $ \vec{AD} - \vec{CD} $;

в) $ \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD} $;

г) $ 2\vec{AB} + 2\vec{OD} $.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Нам даны длины диагоналей: $|AC| = 8$ и $|BD| = 6$. Следовательно, длины их половин равны: $|AO| = |OC| = \frac{1}{2}|AC| = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$. $|BO| = |OD| = \frac{1}{2}|BD| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$. Треугольник $AOB$ является прямоугольным с катетами $AO$ и $BO$. По теореме Пифагора мы можем найти длину стороны ромба $AB$: $|AB| = \sqrt{|AO|^2 + |BO|^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. Все стороны ромба равны, то есть $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 5$.

а) Требуется найти длину вектора $\vec{AB} - \vec{AD}$. По определению разности векторов, имеющих общее начало (точка A), вектор разности $\vec{AB} - \vec{AD}$ — это вектор, идущий от конца второго вектора (D) к концу первого вектора (B). Таким образом, $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $BD$. По условию $|BD| = 6$, следовательно, $|\vec{DB}| = 6$.
Ответ: 6.

б) Требуется найти длину вектора $\vec{AD} - \vec{CD}$. В ромбе, как и в любом параллелограмме, векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны. В частности, $\vec{CD} = \vec{BA}$. Произведем замену в выражении: $\vec{AD} - \vec{CD} = \vec{AD} - \vec{BA}$. Вычитание вектора $\vec{BA}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{AB}$, то есть $\vec{AD} - \vec{BA} = \vec{AD} + \vec{AB}$. По правилу параллелограмма, сумма векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$, отложенных от одной точки $A$, равна вектору диагонали, исходящей из этой же точки, то есть вектору $\vec{AC}$. Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$, которая по условию составляет 8. Таким образом, $|\vec{AD} - \vec{CD}| = |\vec{AC}| = 8$.
Ответ: 8.

в) Требуется найти длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD}$. Выразим векторы диагоналей через векторы сторон, выходящих из вершины A: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ (по правилу параллелограмма) и $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$ (по правилу разности векторов). Подставим эти выражения в исходное: $\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD}) = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{AB})) = \frac{1}{2}(2\vec{AD}) = \vec{AD}$. Следовательно, искомая длина равна длине вектора $\vec{AD}$, что соответствует длине стороны ромба. Как было вычислено ранее, сторона ромба равна 5.
Ответ: 5.

г) Требуется найти длину вектора $2\vec{AB} + 2\vec{OD}$. Так как точка $O$ является серединой диагонали $BD$, вектор $\vec{OD}$ равен половине вектора $\vec{BD}$, то есть $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$. Подставим это в выражение: $2\vec{AB} + 2(\frac{1}{2}\vec{BD}) = 2\vec{AB} + \vec{BD}$. Теперь, как и в предыдущем пункте, выразим $\vec{BD}$ через стороны: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$. Получаем: $2\vec{AB} + (\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{AB} + \vec{AD}$. Сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AD}$ по правилу параллелограмма равна вектору диагонали $\vec{AC}$. Таким образом, искомый вектор равен $\vec{AC}$, а его длина равна длине диагонали $AC$, то есть 8.
Ответ: 8.