Номер 3, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В треугольнике ABC (рис. 3.4) укажите векторы:

а) $\vec{AC} - \vec{AB}$;

б) $\vec{AB} - \vec{AC}$;

в) $\vec{BA} - \vec{BC}$;

г) $\vec{BA} - \vec{CA}$.

а)

Чтобы найти разность векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$, можно воспользоваться правилом вычитания векторов, имеющих общее начало. Разность векторов $\vec{u} - \vec{v}$ — это вектор, который соединяет конец вектора $\vec{v}$ с концом вектора $\vec{u}$. В данном случае, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ начинаются в точке $A$. Следовательно, их разность — это вектор, идущий от конца вычитаемого вектора ($\vec{AB}$, точка $B$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{AC}$, точка $C$).

Таким образом, $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$.

Другой способ — это заменить вычитание на сложение с противоположным вектором: $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{AC} + (-\vec{AB})$. Так как $-\vec{AB} = \vec{BA}$, то выражение примет вид: $\vec{AC} + \vec{BA}$. По правилу треугольника (правило Шаля) $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.

Ответ: $\vec{BC}$

б)

Разность векторов $\vec{AB} - \vec{AC}$ находится аналогично предыдущему пункту. Оба вектора исходят из точки $A$. По правилу вычитания, результирующий вектор идет от конца вычитаемого вектора ($\vec{AC}$, точка $C$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{AB}$, точка $B$).

Следовательно, $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

Также можно воспользоваться сложением с противоположным вектором: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA}$. Переставив слагаемые, получим: $\vec{CA} + \vec{AB}$. По правилу треугольника, $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$

в)

Для нахождения разности $\vec{BA} - \vec{BC}$ оба вектора исходят из точки $B$. Применим правило вычитания векторов. Результирующий вектор начинается в конце вычитаемого вектора ($\vec{BC}$, точка $C$) и заканчивается в конце уменьшаемого вектора ($\vec{BA}$, точка $A$).

Таким образом, $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$.

Используя сложение с противоположным вектором, получаем: $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{BA} + (-\vec{BC}) = \vec{BA} + \vec{CB}$. По правилу треугольника, сумма $\vec{CB} + \vec{BA}$ равна вектору $\vec{CA}$.

Ответ: $\vec{CA}$

г)

В выражении $\vec{BA} - \vec{CA}$ векторы имеют разные начальные точки. Для упрощения заменим вычитание на сложение с противоположным вектором. Вектор, противоположный $\vec{CA}$, это $\vec{AC}$, то есть $-\vec{CA} = \vec{AC}$.

Подставим это в исходное выражение: $\vec{BA} - \vec{CA} = \vec{BA} + \vec{AC}$.

Теперь мы можем применить правило треугольника для сложения векторов, так как конец первого вектора ($\vec{BA}$, точка $A$) совпадает с началом второго ($\vec{AC}$, точка $A$). Суммой будет вектор, идущий от начала первого вектора (точка $B$) к концу второго (точка $C$).

Таким образом, $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.

Ответ: $\vec{BC}$