Номер 4, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 3.5). Укажите векторы:

а) $ \overline{AB} - \overline{AD} $

б) $ \overline{CB} - \overline{AB} $

в) $ \frac{1}{2}\overline{AC} + \frac{1}{2}\overline{BD} $

г) $ 2\overline{AB} + 2\overline{OD} $

5. Сторона параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$ справедливы следующие векторные соотношения:

• Противоположные стороны: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$.
• Правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
• Правило параллелограмма: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
• Диагонали делятся точкой пересечения пополам: $\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$. Обратите внимание, что $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ — это равные векторы (одинаковая длина и направление).

Используя эти свойства, найдем указанные векторы.

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$

Разность векторов, выходящих из одной точки (в данном случае, A), — это вектор, который соединяет конец вычитаемого вектора (D) с концом уменьшаемого вектора (B). Таким образом, вектор разности направлен из D в B.
$\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$.
Это также можно увидеть из правила сложения: $\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$, откуда $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$.
Ответ: $\vec{DB}$.

б) $\vec{CB} - \vec{AB}$

Вычитание вектора $\vec{AB}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{BA}$.
$\vec{CB} - \vec{AB} = \vec{CB} + \vec{BA}$.
По правилу треугольника (последовательное сложение векторов), сумма векторов $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$ — это вектор, идущий из начальной точки первого вектора (C) в конечную точку второго вектора (A).
$\vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}$.
Ответ: $\vec{CA}$.

в) $\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD}$

Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, мы можем записать:
$\frac{1}{2}\vec{AC} = \vec{AO}$.
Также, поскольку $O$ — середина $BD$, векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ равны. Таким образом, $\vec{BD} = \vec{BO} + \vec{OD} = 2\vec{OD}$, и, следовательно, $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
Подставим эти выражения в исходное:
$\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD} = \vec{AO} + \vec{OD}$.
По правилу треугольника, $\vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AD}$.
Так как в параллелограмме $\vec{AD} = \vec{BC}$, то вектор $\vec{BC}$ также является верным ответом.
Ответ: $\vec{AD}$ (или $\vec{BC}$).

г) $2\vec{AB} + 2\vec{OD}$

Вынесем скалярный множитель 2 за скобки: $2(\vec{AB} + \vec{OD})$.
По свойству диагоналей параллелограмма, векторы $\vec{OD}$ и $\vec{BO}$ равны, так как они имеют одинаковую длину (половина диагонали $BD$) и одинаковое направление. Заменим $\vec{OD}$ на $\vec{BO}$:
$2(\vec{AB} + \vec{BO})$.
Теперь применим правило треугольника к сумме в скобках: $\vec{AB} + \vec{BO} = \vec{AO}$.
Выражение упрощается до $2\vec{AO}$.
Поскольку точка $O$ является серединой диагонали $AC$, вектор $\vec{AC}$ в два раза длиннее вектора $\vec{AO}$ и сонаправлен с ним, то есть $\vec{AC} = 2\vec{AO}$.
Следовательно, итоговый вектор равен $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AC}$.