Номер 7, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Диагонали правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке O (рис. 3.6). Укажите вектор, равный вектору $ \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{CF} + \frac{1}{2}\vec{BE} $, началом и концом которого являются вершины этого шестиугольника.

Рис. 3.6

Поскольку ABCDEF – это правильный шестиугольник, точка O является его центром и серединой главных диагоналей AD, BE и CF.

Рассмотрим векторное выражение $ S = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{CF} + \frac{1}{2}\vec{BE} $.

Преобразуем каждый член выражения, используя свойство точки O как середины диагоналей:

1. Так как O – середина отрезка AD, то вектор от вершины A до центра O равен половине вектора диагонали AD: $ \frac{1}{2}\vec{AD} = \vec{AO} $.

2. Так как O – середина отрезка CF, то $ \frac{1}{2}\vec{CF} = \vec{CO} $. Тогда $ -\frac{1}{2}\vec{CF} = -\vec{CO} $. Вектор, противоположный вектору $ \vec{CO} $, есть вектор $ \vec{OC} $. Таким образом, $ -\frac{1}{2}\vec{CF} = \vec{OC} $.

3. Так как O – середина отрезка BE, то $ \frac{1}{2}\vec{BE} = \vec{BO} $.

Подставим полученные векторы в исходное выражение:

$ S = \vec{AO} + \vec{OC} + \vec{BO} $

Сгруппируем и сложим первые два вектора по правилу треугольника (или правилу Шаля):

$ \vec{AO} + \vec{OC} = \vec{AC} $

Теперь выражение принимает вид:

$ S = \vec{AC} + \vec{BO} $

В правильном шестиугольнике четырехугольник BCDO является ромбом (все его стороны равны радиусу описанной окружности). Следовательно, стороны BO и CD параллельны и равны по длине. Значит, векторы $ \vec{BO} $ и $ \vec{CD} $ равны: $ \vec{BO} = \vec{CD} $.

Заменим в нашем выражении вектор $ \vec{BO} $ на равный ему вектор $ \vec{CD} $:

$ S = \vec{AC} + \vec{CD} $

Снова применим правило треугольника для сложения векторов:

$ \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD} $

Таким образом, искомый вектор равен $ \vec{AD} $. Его начало — вершина A, конец — вершина D.

Ответ: $ \vec{AD} $.