Номер 2, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Даны векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ (рис. 3.3). Постройте вектор:

а) $\bar{a}-\bar{b}$

б) $\bar{a}+2\bar{b}$

Рис. 3.3

Для решения задачи сначала определим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по клеткам на рисунке. Примем сторону одной клетки за единицу.

Вектор $\vec{a}$ смещает свою начальную точку на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Таким образом, его координаты: $\vec{a} = \{2; 3\}$.

Вектор $\vec{b}$ смещает свою начальную точку на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Таким образом, его координаты: $\vec{b} = \{3; 1\}$.

а) $\vec{a}-\vec{b}$

Чтобы построить вектор разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, можно воспользоваться двумя способами:

1. Алгебраический способ (через координаты):
Вычитание векторов сводится к вычитанию их соответствующих координат.$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = \{2; 3\} - \{3; 1\} = \{2 - 3; 3 - 1\} = \{-1; 2\}$.Это означает, что искомый вектор будет направлен на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх.

2. Геометрическое построение (правило треугольника):
Вычитание вектора $\vec{b}$ эквивалентно прибавлению вектора $-\vec{b}$, который имеет такое же по модулю значение, но противоположное направление. Координаты вектора $-\vec{b}$ равны $\{-3; -1\}$.Для построения вектора $\vec{a} - \vec{b}$ нужно к концу вектора $\vec{a}$ приставить начало вектора $-\vec{b}$. Вектор, соединяющий начало вектора $\vec{a}$ и конец вектора $-\vec{b}$, и будет их разностью.На рисунке ниже это построение выполнено красным цветом (исходные векторы для построения показаны пунктиром).

Ответ: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $\{-1; 2\}$, то есть это вектор, направленный на 1 клетку влево и 2 клетки вверх.

б) $\vec{a}+2\vec{b}$

Чтобы построить вектор $\vec{d} = \vec{a} + 2\vec{b}$, сначала найдем вектор $2\vec{b}$.

1. Алгебраический способ (через координаты):
Умножение вектора на число означает умножение каждой его координаты на это число.$2\vec{b} = 2 \cdot \{3; 1\} = \{2 \cdot 3; 2 \cdot 1\} = \{6; 2\}$.Теперь сложим векторы $\vec{a}$ и $2\vec{b}$:$\vec{d} = \vec{a} + 2\vec{b} = \{2; 3\} + \{6; 2\} = \{2 + 6; 3 + 2\} = \{8; 5\}$.Это означает, что искомый вектор будет направлен на 8 клеток вправо и на 5 клеток вверх.

2. Геометрическое построение (правило многоугольника):
Вектор $2\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{b}$ и в два раза длиннее его. Для построения суммы $\vec{a} + 2\vec{b}$ нужно к концу вектора $\vec{a}$ приставить начало вектора $2\vec{b}$. Вектор, соединяющий начало вектора $\vec{a}$ и конец вектора $2\vec{b}$, и будет их суммой.На рисунке ниже это построение выполнено синим цветом (исходные векторы для построения показаны пунктиром).

Ответ: Вектор $\vec{a} + 2\vec{b}$ имеет координаты $\{8; 5\}$, то есть это вектор, направленный на 8 клеток вправо и 5 клеток вверх.

Ниже представлен рисунок с геометрическим построением искомых векторов.