Номер 15, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Определите операцию умножения (произведения) вектора на число. Рассмотрите случаи, когда число:

а) больше нуля;

б) равно нулю;

в) меньше нуля.

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ (также называемое скаляром) является вектор $\vec{b}$, обозначаемый как $k\vec{a}$. Этот вектор $\vec{b}$ определяется следующими свойствами:

1. Длина (модуль) вектора: Длина вектора $\vec{b}$ равна длине вектора $\vec{a}$, умноженной на абсолютное значение (модуль) числа $k$. Формула: $|\vec{b}| = |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

2. Направление вектора: Вектор $\vec{b}$ всегда коллинеарен вектору $\vec{a}$ (то есть они лежат на одной или на параллельных прямых). Направление вектора $\vec{b}$ относительно $\vec{a}$ зависит от знака числа $k$.

Рассмотрим три случая для значения числа $k$.

а) больше нуля

Если число $k$ положительно ($k > 0$), то результирующий вектор $k\vec{a}$ имеет то же направление, что и исходный вектор $\vec{a}$. Такие векторы называются сонаправленными, что обозначается как $k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$. Длина нового вектора равна произведению числа $k$ на длину вектора $\vec{a}$, поскольку $|k| = k$ для $k > 0$. Таким образом, $|k\vec{a}| = k \cdot |\vec{a}|$.

Ответ: Если число $k$ больше нуля, то вектор $k\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$, а его длина в $k$ раз больше длины вектора $\vec{a}$.

б) равно нулю

Если число $k$ равно нулю ($k = 0$), то произведение любого вектора $\vec{a}$ на это число есть нулевой вектор, обозначаемый как $\vec{0}$. Нулевой вектор — это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают. Его длина равна нулю: $|0 \cdot \vec{a}| = |0| \cdot |\vec{a}| = 0 \cdot |\vec{a}| = 0$. Направление нулевого вектора не определено.

Ответ: Если число $k$ равно нулю, то произведение $k\vec{a}$ является нулевым вектором $\vec{0}$.

в) меньше нуля

Если число $k$ отрицательно ($k < 0$), то результирующий вектор $k\vec{a}$ направлен в сторону, противоположную направлению вектора $\vec{a}$. Такие векторы называются противоположно направленными, что обозначается как $k\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$. Длина нового вектора равна произведению модуля числа $k$ на длину вектора $\vec{a}$: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Так как $k$ отрицательно, то $|k| = -k$ (например, $|-3| = 3$).

Ответ: Если число $k$ меньше нуля, то вектор $k\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$, а его длина равна $|k| \cdot |\vec{a}|$.