Номер 12, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. O – точка пересечения медиан треугольника ABC (рис. 2.6). Докажите, что $ \overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} = \overline{0} $.

Рис. 2.6

Пусть в треугольнике $ABC$ медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$. Точка $O$ является центроидом треугольника.

Рассмотрим медиану $CC_1$. Точка $C_1$ является серединой стороны $AB$. По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма) для векторов, отложенных из точки $O$, вектор $\vec{OC_1}$ можно выразить как полусумму векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$:

$\vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Согласно свойству медиан треугольника, точка их пересечения $O$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $CC_1$ это означает, что отношение длин отрезков $CO$ и $OC_1$ равно $2:1$.

Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{OC_1}$ коллинеарны, так как лежат на одной прямой (медиане $CC_1$), но направлены в противоположные стороны (вектор $\vec{OC}$ направлен от точки $O$ к вершине $C$, а вектор $\vec{OC_1}$ — от точки $O$ к середине стороны $AB$). Поскольку длина вектора $\vec{OC}$ вдвое больше длины вектора $\vec{OC_1}$, их можно связать следующим равенством:

$\vec{OC} = -2 \cdot \vec{OC_1}$

Теперь подставим в полученное равенство выражение для $\vec{OC_1}$:

$\vec{OC} = -2 \cdot \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Упрощая, получаем:

$\vec{OC} = -(\vec{OA} + \vec{OB})$

Раскроем скобки:

$\vec{OC} = -\vec{OA} - \vec{OB}$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$

Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Равенство $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$ доказано.