Номер 5, страница 20 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Может ли сумма трех ненулевых векторов равняться нулевому вектору? Если может, то приведите пример.

Да, сумма трех ненулевых векторов может равняться нулевому вектору.

Это возможно, если три вектора удовлетворяют условию замыкания. Геометрически это означает, что если отложить эти три вектора последовательно один за другим (так, чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего), то конец третьего вектора совпадет с началом первого. В этом случае векторы образуют замкнутый треугольник.

Математически это условие записывается как $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, где $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ — ненулевые векторы.

Пример:

Чтобы найти три таких вектора, можно выбрать два произвольных ненулевых вектора, а третий вектор взять равным их сумме, но с противоположным знаком.

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(2, 4)$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(1, -6)$. Оба вектора являются ненулевыми.
Найдем их сумму:
$\vec{a} + \vec{b} = (2+1, 4-6) = (3, -2)$.

Теперь выберем третий вектор $\vec{c}$ таким образом, чтобы он был противоположен сумме векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b}) = -(3, -2) = (-3, 2)$.
Вектор $\vec{c}$ также является ненулевым.

Проверим, равна ли сумма этих трех векторов нулевому вектору:
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2, 4) + (1, -6) + (-3, 2) = (2+1-3, 4-6+2) = (0, 0) = \vec{0}$.
Сумма действительно равна нулевому вектору.

Ответ: Да, может. Например, векторы $\vec{a}=(2, 4)$, $\vec{b}=(1, -6)$ и $\vec{c}=(-3, 2)$ являются ненулевыми, и их сумма равна нулевому вектору.