Номер 17, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

тельно направленных векторов через их длины.

17. Повторите определения и свойства параллелограмма.

Определения параллелограмма

Существует несколько эквивалентных определений параллелограмма:

1. Геометрическое определение: Параллелограмм — это выпуклый четырёхугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны попарно параллельны. То есть, если в четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$), а стороны BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$), то этот четырёхугольник является параллелограммом.

2. Векторное определение: Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если для его векторов сторон выполняется равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$ (или, что эквивалентно, $\vec{BC} = \vec{AD}$). Это означает, что одна пара противоположных сторон не только параллельна, но и равна по длине.

Свойства параллелограмма

Если четырёхугольник является параллелограммом, то для него справедливы следующие свойства:

1. Противоположные стороны равны. В параллелограмме ABCD: $AB = CD$ и $BC = AD$.

2. Противоположные углы равны. В параллелограмме ABCD: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$ или $\angle B + \angle C = 180^\circ$.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то $AO = OC$ и $BO = OD$.

5. Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Если a и b — длины смежных сторон, а $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, то $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий (признаков):

1. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны. Например, если $AB = CD$ и $AB \parallel CD$, то ABCD — параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны. Если $AB = CD$ и $BC = AD$, то ABCD — параллелограмм.

3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O так, что $AO = OC$ и $BO = OD$, то ABCD — параллелограмм.

4. Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны. Если $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$, то ABCD — параллелограмм.

Ответ: Выше приведены определения, свойства и признаки параллелограмма.