Номер 12, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Определите вид четырехугольника ABCD, если:

а) $\vec{AB} = \vec{DC}$;

б) $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\left|\vec{AB}\right| = \left|\vec{BC}\right|$.

а)

Условие $\overline{AB} = \overline{DC}$ означает, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{DC}$ равны. Равенство векторов подразумевает, что они имеют одинаковое направление (сонаправлены) и равные длины (модули).

Из того, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{DC}$ сонаправлены, следует, что прямые, содержащие отрезки $AB$ и $DC$, параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

Из того, что длины векторов равны, следует, что $|\overline{AB}| = |\overline{DC}|$, то есть длины отрезков $AB$ и $DC$ равны, $AB = DC$.

В четырехугольнике $ABCD$ две противолежащие стороны ($AB$ и $DC$) параллельны и равны. По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: параллелограмм.

б)

В этом пункте даны два условия: $\overline{AB} = \overline{DC}$ и $|\overline{AB}| = |\overline{BC}|$.

Из первого условия $\overline{AB} = \overline{DC}$, как было доказано в пункте а), следует, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Второе условие $|\overline{AB}| = |\overline{BC}|$ означает, что длины сторон $AB$ и $BC$ равны. Эти стороны в параллелограмме $ABCD$ являются смежными.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Действительно, в параллелограмме противолежащие стороны равны, то есть $AB = DC$ и $BC = AD$. Если к этому добавить условие $AB = BC$, то получим, что все стороны равны: $AB = BC = DC = AD$. Четырехугольник с равными сторонами — это ромб.

Ответ: ромб.