Номер 7, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Стороны правильного шестиугольника $ABCDEF$ равны 1, $O$ — точка пересечения его диагоналей (рис. 1.8). Найдите длину вектора:

а) $\overline{AB}$; б) $\overline{AC}$; в) $\overline{AD}$; г) $\overline{AE}$.

Рис. 1.8

а) Длина вектора $\vec{AB}$ — это длина отрезка $AB$. По условию, $ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной 1. Следовательно, длина стороны $AB$ равна 1. Таким образом, $|\vec{AB}| = 1$.
Ответ: 1.

б) Длина вектора $\vec{AC}$ — это длина малой диагонали $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Стороны $AB=1$ и $BC=1$. Угол в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$, поэтому $\angle ABC = 120^\circ$. Для нахождения длины $AC$ воспользуемся теоремой косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
Подставим известные значения:
$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
Отсюда $AC = \sqrt{3}$. Значит, $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Длина вектора $\vec{AD}$ — это длина большой диагонали $AD$. Большая диагональ правильного шестиугольника проходит через его центр $O$ и состоит из двух отрезков, равных стороне шестиугольника ($AD = AO + OD$). Так как правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, то $AO = OD = AB = 1$.
Следовательно, $AD = 1 + 1 = 2$. Таким образом, $|\vec{AD}| = 2$.
Ответ: 2.

г) Длина вектора $\vec{AE}$ — это длина малой диагонали $AE$. В силу симметрии правильного шестиугольника, длина диагонали $AE$ равна длине диагонали $AC$.
$|\vec{AE}| = |\vec{AC}| = \sqrt{3}$.
Можно также вычислить, используя теорему косинусов для треугольника $AFE$, который равен треугольнику $ABC$.
Ответ: $\sqrt{3}$.