Номер 1, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие из векторов, изображенных на рисунке 1.5:

а) одинаково направлены;

б) противоположно направлены;

в) равны?

Рис. 1.5

а) одинаково направлены
Одинаково направленные (или сонаправленные) векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых и указывают в одном и том же направлении. Для определения таких векторов найдем координаты каждого вектора на сетке, приняв сторону клетки за единицу длины. Координаты вектора $\vec{a}$ записываются как $\{x; y\}$, где $x$ — смещение по горизонтали (вправо — положительное, влево — отрицательное), а $y$ — смещение по вертикали (вверх — положительное, вниз — отрицательное).
Координаты векторов:
$\vec{1}=\{0; 2\}$; $\vec{2}=\{0; -2\}$; $\vec{3}=\{2; 2\}$; $\vec{4}=\{1; -2\}$; $\vec{5}=\{2; 0\}$; $\vec{6}=\{1; 2\}$; $\vec{7}=\{0; -3\}$; $\vec{8}=\{0; 2\}$; $\vec{9}=\{-2; 0\}$; $\vec{10}=\{2; 0\}$; $\vec{11}=\{1; -2\}$; $\vec{12}=\{-2; 3\}$; $\vec{13}=\{3; 1\}$; $\vec{14}=\{2; 3\}$; $\vec{15}=\{2; 0\}$.
Два вектора $\vec{a}=\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2; y_2\}$ сонаправлены, если их координаты пропорциональны с положительным коэффициентом, то есть существует такое число $k > 0$, что $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$.
Найдем группы сонаправленных векторов:
1. Векторы 1 и 8: $\vec{1}=\{0; 2\}$ и $\vec{8}=\{0; 2\}$. Их координаты равны ($k=1$), значит, они сонаправлены.
2. Векторы 2 и 7: $\vec{2}=\{0; -2\}$ и $\vec{7}=\{0; -3\}$. Координаты пропорциональны: $\vec{7} = 1.5 \cdot \vec{2}$. Так как $1.5 > 0$, они сонаправлены.
3. Векторы 4 и 11: $\vec{4}=\{1; -2\}$ и $\vec{11}=\{1; -2\}$. Их координаты равны ($k=1$), значит, они сонаправлены.
4. Векторы 5, 10 и 15: $\vec{5}=\{2; 0\}$, $\vec{10}=\{2; 0\}$ и $\vec{15}=\{2; 0\}$. Их координаты равны ($k=1$), значит, они сонаправлены.
Ответ: одинаково направлены векторы 1 и 8; 2 и 7; 4 и 11; 5, 10 и 15.

б) противоположно направлены
Противоположно направленные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, но указывают в противоположных направлениях. Два вектора $\vec{a}=\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2; y_2\}$ противоположно направлены, если их координаты пропорциональны с отрицательным коэффициентом, то есть существует такое число $k < 0$, что $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$.
Найдем пары противоположно направленных векторов:
1. Векторы 1 и 2: $\vec{1}=\{0; 2\}$ и $\vec{2}=\{0; -2\}$. $\vec{2} = -1 \cdot \vec{1}$, значит, они противоположно направлены.
2. Векторы 1 и 7: $\vec{1}=\{0; 2\}$ и $\vec{7}=\{0; -3\}$. $\vec{7} = -1.5 \cdot \vec{1}$, значит, они противоположно направлены.
3. Векторы 8 и 2: $\vec{8}=\{0; 2\}$ и $\vec{2}=\{0; -2\}$. $\vec{2} = -1 \cdot \vec{8}$, значит, они противоположно направлены.
4. Векторы 8 и 7: $\vec{8}=\{0; 2\}$ и $\vec{7}=\{0; -3\}$. $\vec{7} = -1.5 \cdot \vec{8}$, значит, они противоположно направлены.
5. Векторы 5 и 9: $\vec{5}=\{2; 0\}$ и $\vec{9}=\{-2; 0\}$. $\vec{9} = -1 \cdot \vec{5}$, значит, они противоположно направлены.
6. Векторы 10 и 9: $\vec{10}=\{2; 0\}$ и $\vec{9}=\{-2; 0\}$. $\vec{9} = -1 \cdot \vec{10}$, значит, они противоположно направлены.
7. Векторы 15 и 9: $\vec{15}=\{2; 0\}$ и $\vec{9}=\{-2; 0\}$. $\vec{9} = -1 \cdot \vec{15}$, значит, они противоположно направлены.
Ответ: противоположно направлены векторы 1 и 2; 1 и 7; 8 и 2; 8 и 7; 5 и 9; 10 и 9; 15 и 9.

в) равны
Равные векторы — это векторы, которые одинаково направлены и имеют одинаковую длину (модуль). Это означает, что их соответствующие координаты должны быть равны. То есть векторы $\vec{a}=\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2; y_2\}$ равны, если $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$.
Из списка координат, полученного в пункте а), найдем группы векторов с полностью совпадающими координатами:
1. $\vec{1}=\{0; 2\}$ и $\vec{8}=\{0; 2\}$. Следовательно, $\vec{1} = \vec{8}$.
2. $\vec{4}=\{1; -2\}$ и $\vec{11}=\{1; -2\}$. Следовательно, $\vec{4} = \vec{11}$.
3. $\vec{5}=\{2; 0\}$, $\vec{10}=\{2; 0\}$ и $\vec{15}=\{2; 0\}$. Следовательно, $\vec{5} = \vec{10} = \vec{15}$.
Ответ: равны векторы 1 и 8; 4 и 11; 5, 10 и 15.