Номер 25, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. На координатной плоскости изобразите ромб ABCD, для которого $A(0; -2)$, $B(1; 0)$, $D(-1; 0)$. Найдите его площадь.

Для построения ромба $ABCD$ необходимо найти координаты четвертой вершины $C(x; y)$. В ромбе, как и в любом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Найдем координаты точки пересечения диагоналей $O$, которая является серединой известной диагонали $BD$.

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_B + x_D}{2}$, $y_O = \frac{y_B + y_D}{2}$.

Подставим координаты точек $B(1; 0)$ и $D(-1; 0)$:

$x_O = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_O = \frac{0 + 0}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(0; 0)$.

Точка $O$ также является серединой диагонали $AC$. Используя координаты точки $A(0; -2)$ и точки $O(0; 0)$, найдем координаты вершины $C(x_C; y_C)$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 0 = \frac{0 + x_C}{2} \Rightarrow x_C = 0$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 0 = \frac{-2 + y_C}{2} \Rightarrow -2 + y_C = 0 \Rightarrow y_C = 2$

Координаты вершины $C$ равны $(0; 2)$.

Теперь мы имеем все четыре вершины ромба: $A(0; -2)$, $B(1; 0)$, $C(0; 2)$ и $D(-1; 0)$. Изобразив эти точки на координатной плоскости и соединив их, получим ромб.

Площадь ромба можно найти как половину произведения длин его диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

Найдем длины диагоналей $AC$ и $BD$ по формуле расстояния между двумя точками $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина диагонали $AC$ (между точками $A(0; -2)$ и $C(0; 2)$):

$d_1 = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$.

Длина диагонали $BD$ (между точками $B(1; 0)$ и $D(-1; 0)$):

$d_2 = BD = \sqrt{(-1-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь вычислим площадь ромба:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$.

Ответ: 4.