Номер 18, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Докажите, что уравнение:

a) $x^2 + 4x + y^2 = 0$;

б) $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 4 = 0$ задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

а)

Чтобы доказать, что уравнение $x^2 + 4x + y^2 = 0$ задает окружность, его нужно привести к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. Это делается с помощью метода выделения полного квадрата.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$:

$(x^2 + 4x) + y^2 = 0$

Чтобы выражение в скобках стало полным квадратом, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$. В нашем случае $2kx = 4x$, откуда $k=2$. Значит, нужно добавить и вычесть $k^2 = 2^2 = 4$.

$(x^2 + 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

Теперь свернем выражение в скобках в полный квадрат и перегруппируем уравнение:

$(x + 2)^2 + y^2 - 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x + 2)^2 + y^2 = 4$

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Его можно записать в виде $(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 2^2$.
Сравнивая его со стандартной формой, мы видим, что это окружность с центром в точке с координатами $(-2, 0)$ и радиусом $R = 2$.
Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом $2$.

б)

Рассмотрим уравнение $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 4 = 0$. Приведем его к каноническому виду, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 4 = 0$

Выделим полный квадрат для группы с $x$:
$x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1$.

Выделим полный квадрат для группы с $y$:
$y^2 + 4y = (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$((x - 1)^2 - 1) + ((y + 2)^2 - 4) + 4 = 0$

Упростим выражение:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 1 - 4 + 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1$

Это каноническое уравнение окружности, которое можно представить в виде $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 1^2$.
Отсюда следует, что это окружность с центром в точке с координатами $(1, -2)$ и радиусом $R = 1$.
Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом $1$.