Страница 12 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. На прямой, параллельной оси абсцисс, взяты две точки. У одной из них ордината равна 5. Чему равна ордината другой точки?

2. Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), является горизонтальной линией. Ключевое свойство такой прямой заключается в том, что все точки, лежащие на ней, имеют одну и ту же ординату (координату $y$). Уравнение любой такой прямой можно записать в виде $y = c$, где $c$ — это некоторое постоянное число.

В условии задачи говорится, что на такой прямой взяты две точки. Обозначим их как точку $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и точку $B$ с координатами $(x_2, y_2)$. Поскольку обе точки принадлежат одной и той же прямой, параллельной оси абсцисс, их ординаты должны быть равны: $y_1 = y_2 = c$.

Нам дано, что ордината одной из этих точек равна 5. Пусть это будет ордината точки $A$, то есть $y_1 = 5$. Так как $y_1 = y_2$, то ордината второй точки, $y_2$, также должна быть равна 5.

Таким образом, если на прямой, параллельной оси абсцисс, у одной точки ордината равна 5, то у любой другой точки на этой же прямой ордината тоже будет равна 5.

Ответ: 5.

На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, взяты две точки. У одной из них абсцисса равна 4. Чему равна абсцисса другой точки?

В декартовой системе координат ось абсцисс — это горизонтальная ось $Ox$. Прямая, перпендикулярная оси абсцисс, является вертикальной прямой. Особенность вертикальной прямой заключается в том, что все её точки имеют одинаковую абсциссу (координату $x$). Уравнение такой прямой в общем виде записывается как $x = c$, где $c$ — это постоянное значение абсциссы для всех точек этой прямой.

В условии задачи сказано, что на такой прямой лежат две точки, и у одной из них абсцисса равна 4. Это означает, что данная прямая проходит через точку, у которой $x=4$. Следовательно, уравнение этой конкретной прямой — $x = 4$.

Так как вторая точка тоже находится на этой же прямой, её абсцисса также должна соответствовать уравнению прямой. Таким образом, абсцисса второй точки тоже равна 4.

Ответ: 4

4. Из точки $A(3; 2)$ опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите координаты основания перпендикуляра.

В декартовой системе координат точка $A$ имеет координаты $(3; 2)$, где $3$ — это координата по оси абсцисс ($x$), а $2$ — координата по оси ординат ($y$).

Ось абсцисс — это горизонтальная ось $Ox$. Любая точка, лежащая на этой оси, имеет ординату (координату $y$), равную нулю.

Когда из точки $A(3; 2)$ опускается перпендикуляр на ось абсцисс, мы ищем точку на оси $Ox$, которая находится прямо под точкой $A$. Эта точка, называемая основанием перпендикуляра, будет иметь ту же самую абсциссу (координату $x$), что и точка $A$, поскольку перпендикуляр к оси $Ox$ является вертикальной линией.

Таким образом, абсцисса основания перпендикуляра равна абсциссе точки $A$, то есть $3$.

Поскольку основание перпендикуляра лежит на оси абсцисс, его ордината (координата $y$) равна $0$.

Следовательно, координаты основания перпендикуляра — это $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$.

5. Через точку $A(3; 2)$ проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты ее точки пересечения с осью ординат.

По условию задачи, дана точка $A(3; 2)$, через которую проходит прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox). Необходимо найти координаты точки пересечения этой прямой с осью ординат (осью Oy).

1. Уравнение прямой.

Прямая, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной. Это означает, что для всех точек, лежащих на этой прямой, координата $y$ (ордината) будет одинаковой. Поскольку прямая проходит через точку $A(3; 2)$, то ордината всех точек на этой прямой равна 2. Таким образом, уравнение этой прямой можно записать как $y = 2$.

2. Пересечение с осью ординат.

Ось ординат (ось Oy) — это множество всех точек, у которых координата $x$ (абсцисса) равна нулю. То есть, любая точка на оси Oy имеет вид $(0; y)$.

Чтобы найти точку пересечения нашей прямой $y=2$ с осью ординат, нужно найти точку, которая удовлетворяет обоим условиям: она лежит и на прямой, и на оси. Это означает, что ее абсцисса должна быть равна 0 (условие принадлежности оси Oy), а ее ордината должна быть равна 2 (условие принадлежности прямой $y=2$).

Следовательно, искомая точка пересечения имеет координаты $(0; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$

6. Найдите координаты середины отрезка AB, если:

а) A$(2; -1)$, B$(6; 5)$;

б) A$(-4; 3)$, B$(2; 1)$;

в) A$(7; 5)$, B$(-5; -3)$.

Для нахождения координат середины отрезка, зная координаты его концов, необходимо найти среднее арифметическое соответствующих координат. Если концы отрезка $AB$ имеют координаты $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, а точка $C(x_C; y_C)$ является его серединой, то ее координаты вычисляются по формулам:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Применим эти формулы для решения каждого подпункта.

а) Даны точки $A(2; -1)$ и $B(6; 5)$.

Найдем координаты середины отрезка $AB$:

Абсцисса (координата x) середины:

$x_C = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ордината (координата y) середины:

$y_C = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, координаты середины отрезка $AB$ — $(4; 2)$.

Ответ: $(4; 2)$.

б) Даны точки $A(-4; 3)$ и $B(2; 1)$.

Найдем координаты середины отрезка $AB$:

Абсцисса (координата x) середины:

$x_C = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ордината (координата y) середины:

$y_C = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, координаты середины отрезка $AB$ — $(-1; 2)$.

Ответ: $(-1; 2)$.

в) Даны точки $A(7; 5)$ и $B(-5; -3)$.

Найдем координаты середины отрезка $AB$:

Абсцисса (координата x) середины:

$x_C = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ордината (координата y) середины:

$y_C = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, координаты середины отрезка $AB$ — $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

7. Для данной системы координат на плоскости изобразите точки $A(1; 1)$ и $B(-1; 1)$. Изобразите отрезок AB. Пересекает ли он какую-нибудь ось координат? Найдите координаты точек пересечения (если они есть).

Изображение точек A(1; 1) и B(-1; 1) и отрезка AB

Для того чтобы изобразить точки на координатной плоскости, необходимо отложить их координаты по осям. Ось абсцисс - это горизонтальная ось $Ox$, а ось ординат - это вертикальная ось $Oy$.

1. Точка $A(1; 1)$ имеет абсциссу $x=1$ и ординату $y=1$. Чтобы ее отметить, нужно от начала координат (точки $O(0;0)$) сместиться на 1 единицу вправо по оси $Ox$, а затем на 1 единицу вверх параллельно оси $Oy$. Точка $A$ находится в первом координатном углу (квадранте).

2. Точка $B(-1; 1)$ имеет абсциссу $x=-1$ и ординату $y=1$. Чтобы ее отметить, нужно от начала координат сместиться на 1 единицу влево по оси $Ox$, а затем на 1 единицу вверх параллельно оси $Oy$. Точка $B$ находится во втором координатном углу (квадранте).

3. Отрезок $AB$ — это прямая линия, соединяющая точки $A$ и $B$. Так как у обеих точек ординаты (координаты $y$) одинаковы и равны 1, отрезок $AB$ будет являться горизонтальным отрезком, параллельным оси абсцисс $Ox$ и расположенным на 1 единицу выше нее.

Пересечение отрезка AB с осями координат

Проанализируем, пересекает ли отрезок $AB$ оси координат.

1. Ось абсцисс ($Ox$): Эта ось является прямой, все точки которой имеют координату $y=0$. Все точки на отрезке $AB$ имеют координату $y=1$. Поскольку $1 \neq 0$, ни одна точка отрезка не лежит на оси $Ox$. Следовательно, отрезок $AB$ не пересекает ось абсцисс.

2. Ось ординат ($Oy$): Эта ось является прямой, все точки которой имеют координату $x=0$. Отрезок $AB$ соединяет точки с абсциссами $x=-1$ и $x=1$. Диапазон значений $x$ для всех точек на отрезке $AB$ — это $[-1, 1]$. Так как значение $x=0$ находится внутри этого диапазона ($-1 \le 0 \le 1$), отрезок $AB$ пересекает ось ординат.

Нахождение координат точек пересечения

Мы установили, что отрезок $AB$ пересекает только одну ось координат — ось ординат $Oy$. Точка пересечения с осью $Oy$ должна иметь абсциссу $x=0$. Так как все точки отрезка $AB$ лежат на прямой $y=1$, то и точка пересечения будет иметь ординату $y=1$.

Таким образом, координаты точки пересечения — $(0; 1)$.

Ответ: Да, отрезок AB пересекает одну из осей координат. Он пересекает только ось ординат (ось $Oy$) в точке с координатами $(0; 1)$.

8. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 0)$, $B$ и $C(2; 6)$ являются последовательными вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки $B$.

Пусть искомая вершина параллелограмма B имеет координаты $(x; y)$.

В условии сказано, что точки O(0; 0), A(6; 0), B и C(2; 6) являются последовательными вершинами. Это означает, что мы имеем дело с параллелограммом OABC.

Основное свойство диагоналей любого параллелограмма заключается в том, что они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Следовательно, середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали OB.

Найдем координаты середины диагонали AC. Обозначим эту точку как M. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим известные значения координат точек A(6; 0) и C(2; 6):

$x_M = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_M = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, середина диагонали AC, точка M, имеет координаты (4; 3).

Теперь найдем координаты середины диагонали OB. Эта точка также является точкой M(4; 3). Используем координаты точек O(0; 0) и B(x; y):

$x_M = \frac{x_O + x}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$

$y_M = \frac{y_O + y}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв координаты точки M, найденные двумя способами:

$\frac{x}{2} = 4$

$\frac{y}{2} = 3$

Решив эти простые уравнения, находим координаты точки B:

$x = 4 \cdot 2 = 8$

$y = 3 \cdot 2 = 6$

Значит, вершина B имеет координаты (8; 6).

Ответ: B(8; 6)

9. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $B(8; 10)$, $C(2; 8)$ являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки $P$ пересечения его диагоналей.

Даны вершины четырехугольника O(0; 0), A(6; 2), B(8; 10), C(2; 8). Точка $P$ является точкой пересечения его диагоналей. В четырехугольнике OABC диагоналями являются отрезки, соединяющие противоположные вершины: OB и AC. Точка пересечения диагоналей $P$ — это общая точка этих двух отрезков. Чтобы найти ее координаты, сначала определим вид четырехугольника, так как это может упростить решение. Проверим, является ли OABC параллелограммом, сравнив угловые коэффициенты его противоположных сторон. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдем угловой коэффициент стороны OA, соединяющей точки O(0; 0) и A(6; 2):
$k_{OA} = \frac{2 - 0}{6 - 0} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Найдем угловой коэффициент противоположной стороны CB, соединяющей точки C(2; 8) и B(8; 10):
$k_{CB} = \frac{10 - 8}{8 - 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Так как $k_{OA} = k_{CB}$, стороны OA и CB параллельны.

Теперь проверим вторую пару сторон: OC и AB.Найдем угловой коэффициент стороны OC, соединяющей точки O(0; 0) и C(2; 8):
$k_{OC} = \frac{8 - 0}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4$.

Найдем угловой коэффициент стороны AB, соединяющей точки A(6; 2) и B(8; 10):
$k_{AB} = \frac{10 - 2}{8 - 6} = \frac{8}{2} = 4$.

Так как $k_{OC} = k_{AB}$, стороны OC и AB также параллельны.

Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, четырехугольник OABC является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $P$ является серединой как диагонали OB, так и диагонали AC. Мы можем найти координаты $P$, вычислив координаты середины любой из диагоналей. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$.

Найдем середину диагонали OB, соединяющей точки O(0; 0) и B(8; 10):
$x_P = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_P = \frac{0 + 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, координаты точки $P$ — (4; 5). Для уверенности можно проверить, является ли эта точка также серединой диагонали AC, соединяющей точки A(6; 2) и C(2; 8):
$x_P = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_P = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Координаты совпадают, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ: $P(4; 5)$.

10. Найдите расстояние между точками:

а) $A_1(2; 1)$ и $A_2(1; -1)$;

б) $B_1(4; 3)$ и $B_2(-1; 3)$.

Для вычисления расстояния $d$ между двумя точками с координатами $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$ на плоскости используется следующая формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

а) Найдем расстояние между точками $A_1(2; 1)$ и $A_2(1; -1)$.

В данном случае координаты точек: $x_1 = 2$, $y_1 = 1$ и $x_2 = 1$, $y_2 = -1$.

Подставим значения координат в формулу расстояния:

$d(A_1, A_2) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-1 - 1)^2}$

Выполним вычисления:

$d(A_1, A_2) = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$.

б) Найдем расстояние между точками $B_1(4; 3)$ и $B_2(-1; 3)$.

Координаты точек: $x_1 = 4$, $y_1 = 3$ и $x_2 = -1$, $y_2 = 3$.

Подставим значения в формулу:

$d(B_1, B_2) = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (3 - 3)^2}$

Выполним вычисления:

$d(B_1, B_2) = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 0} = \sqrt{25} = 5$

Обратите внимание, что у этих точек одинаковая ордината ($y_1 = y_2 = 3$), это значит, что они лежат на одной горизонтальной прямой. В таком случае расстояние между ними равно модулю разности их абсцисс: $d = |x_2 - x_1| = |-1 - 4| = |-5| = 5$.

Ответ: 5.

11. Найдите расстояние от точки $A(3; 2)$ до оси: а) $Ox$; б) $Oy$.

Для нахождения расстояния от точки до координатных осей используется общее правило: расстояние от точки $M(x; y)$ до оси абсцисс ($Ox$) равно модулю её ординаты ($|y|$), а расстояние до оси ординат ($Oy$) равно модулю её абсциссы ($|x|$). В данной задаче точка $A$ имеет координаты $(3; 2)$.

а) Ox
Расстояние от точки $A(3; 2)$ до оси $Ox$ равно модулю её ординаты. Ордината точки $A$ — это координата $y$, которая равна 2. Таким образом, расстояние от точки $A$ до оси $Ox$ составляет $|2| = 2$.
Ответ: 2

б) Oy
Расстояние от точки $A(3; 2)$ до оси $Oy$ равно модулю её абсциссы. Абсцисса точки $A$ — это координата $x$, которая равна 3. Таким образом, расстояние от точки $A$ до оси $Oy$ составляет $|3| = 3$.
Ответ: 3

12. Какая из точек $A (1; 2)$ или $B (1; -2)$ лежит ближе к началу координат?

Чтобы определить, какая из точек лежит ближе к началу координат, необходимо найти расстояние от каждой точки до начала координат, то есть до точки O(0; 0). Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Найдем расстояние от точки A(1; 2) до начала координат O(0; 0). Обозначим это расстояние $OA$.

$OA = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Теперь найдем расстояние от точки B(1; -2) до начала координат O(0; 0). Обозначим это расстояние $OB$.

$OB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Сравнив полученные расстояния, мы видим, что $OA = \sqrt{5}$ и $OB = \sqrt{5}$. Так как расстояния равны, то точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

Ответ: Точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

13. Найдите координаты центра $C$ и радиус $R$ окружности, заданной уравнением:
а) $(x+5)^2 + (y-2)^2 = 16;
б) $x^2 + (y+3)^2 = 9.

Общее уравнение окружности с центром в точке $C(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Чтобы найти координаты центра и радиус, необходимо сравнить заданное уравнение с этим стандартным видом.

а) Дано уравнение $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16$.
Сравниваем его с уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Из сравнения члена $(x + 5)^2$ с $(x - x_0)^2$ получаем $x_0 = -5$.
Из сравнения члена $(y - 2)^2$ с $(y - y_0)^2$ получаем $y_0 = 2$.
Таким образом, координаты центра окружности $C$ равны $(-5, 2)$.
Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $R^2 = 16$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: $C(-5, 2)$, $R = 4$.

б) Дано уравнение $x^2 + (y + 3)^2 = 9$.
Сравниваем его с уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Член $x^2$ можно представить как $(x - 0)^2$, поэтому $x_0 = 0$.
Член $(y + 3)^2$ можно представить как $(y - (-3))^2$, поэтому $y_0 = -3$.
Таким образом, координаты центра окружности $C$ равны $(0, -3)$.
Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $R^2 = 9$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: $C(0, -3)$, $R = 3$.

14. Напишите уравнение окружности:

а) с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом 2;

б) с центром в точке $C(-2; 1)$ и радиусом 3.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

а)

По условию, центр окружности находится в точке $O(0; 0)$, следовательно, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Радиус окружности $R = 2$.

Подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

Упростив, получаем искомое уравнение:

$x^2 + y^2 = 4$

Ответ: $x^2 + y^2 = 4$

б)

По условию, центр окружности находится в точке $C(-2; 1)$, следовательно, $x_0 = -2$ и $y_0 = 1$. Радиус окружности $R = 3$.

Подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

Упростив, получаем искомое уравнение:

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

15. Выясните, как расположена точка относительно окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, если она имеет координаты:

а) (2; 1);

б) (4; 3);

в) (3; -4);

г) (5; 0);

д) (-1; 5).

Чтобы определить положение точки относительно окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, нужно подставить координаты этой точки в левую часть уравнения и сравнить результат с числом 25, которое является квадратом радиуса окружности ($R^2$).

Уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — центр, а $R$ — радиус. В нашем случае уравнение $x^2 + y^2 = 25$ соответствует окружности с центром в начале координат (0; 0) и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Пусть дана точка с координатами $(x_0, y_0)$. Тогда:

1. Если $x_0^2 + y_0^2 < 25$, точка находится внутри окружности.

2. Если $x_0^2 + y_0^2 = 25$, точка лежит на окружности.

3. Если $x_0^2 + y_0^2 > 25$, точка находится вне окружности.

Проверим каждую из заданных точек.

а) Точка с координатами (2; 1).
Подставим $x=2$ и $y=1$ в выражение $x^2 + y^2$:
$2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
Поскольку $5 < 25$, точка находится внутри окружности.
Ответ: точка находится внутри окружности.

б) Точка с координатами (4; 3).
Подставим $x=4$ и $y=3$ в выражение $x^2 + y^2$:
$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, точка лежит на окружности.
Ответ: точка лежит на окружности.

в) Точка с координатами (3; –4).
Подставим $x=3$ и $y=-4$ в выражение $x^2 + y^2$:
$3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, точка лежит на окружности.
Ответ: точка лежит на окружности.

г) Точка с координатами (5; 0).
Подставим $x=5$ и $y=0$ в выражение $x^2 + y^2$:
$5^2 + 0^2 = 25 + 0 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, точка лежит на окружности.
Ответ: точка лежит на окружности.

д) Точка с координатами (–1; 5).
Подставим $x=-1$ и $y=5$ в выражение $x^2 + y^2$:
$(-1)^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$.
Поскольку $26 > 25$, точка находится вне окружности.
Ответ: точка находится вне окружности.

16. Напишите уравнение окружности с центром в точке C(2; 1), касающейся оси абсцисс.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Из условия задачи известно, что центр окружности находится в точке $C(2; 1)$. Следовательно, параметры центра окружности равны $x_0 = 2$ и $y_0 = 1$.

Окружность касается оси абсцисс. Ось абсцисс — это прямая, задаваемая уравнением $y = 0$. Радиус окружности, касающейся данной оси, равен расстоянию от центра окружности до этой оси. Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до оси абсцисс равно абсолютному значению ее ординаты $|y_0|$.
Таким образом, радиус нашей окружности равен:
$R = |y_0| = |1| = 1$.

Теперь, зная координаты центра $(2; 1)$ и радиус $R = 1$, подставим эти значения в общее уравнение окружности:
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

17. Составьте уравнение окружности с центром в точке $C(4; -3)$, проходящей через начало координат.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Из условия задачи известно, что центр окружности находится в точке $C(4; -3)$. Подставим координаты центра в общее уравнение окружности: $x_0 = 4$
$y_0 = -3$
Получаем: $(x - 4)^2 + (y - (-3))^2 = r^2$, что равносильно $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = r^2$.

Чтобы найти радиус, воспользуемся вторым условием: окружность проходит через начало координат, то есть через точку $O(0; 0)$. Радиус $r$ — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней. Следовательно, радиус равен расстоянию от точки $C(4; -3)$ до точки $O(0; 0)$.

Вычислим квадрат радиуса $r^2$ по формуле квадрата расстояния между двумя точками: $r^2 = (x_O - x_C)^2 + (y_O - y_C)^2$
$r^2 = (0 - 4)^2 + (0 - (-3))^2$
$r^2 = (-4)^2 + 3^2$
$r^2 = 16 + 9$
$r^2 = 25$

Теперь подставим найденное значение $r^2 = 25$ в уравнение окружности, которое мы получили ранее: $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25$.

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25$.

18. Докажите, что уравнение:

a) $x^2 + 4x + y^2 = 0$;

б) $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 4 = 0$ задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

а)

Чтобы доказать, что уравнение $x^2 + 4x + y^2 = 0$ задает окружность, его нужно привести к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. Это делается с помощью метода выделения полного квадрата.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$:

$(x^2 + 4x) + y^2 = 0$

Чтобы выражение в скобках стало полным квадратом, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$. В нашем случае $2kx = 4x$, откуда $k=2$. Значит, нужно добавить и вычесть $k^2 = 2^2 = 4$.

$(x^2 + 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

Теперь свернем выражение в скобках в полный квадрат и перегруппируем уравнение:

$(x + 2)^2 + y^2 - 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x + 2)^2 + y^2 = 4$

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Его можно записать в виде $(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 2^2$.
Сравнивая его со стандартной формой, мы видим, что это окружность с центром в точке с координатами $(-2, 0)$ и радиусом $R = 2$.
Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом $2$.

б)

Рассмотрим уравнение $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 4 = 0$. Приведем его к каноническому виду, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 4 = 0$

Выделим полный квадрат для группы с $x$:
$x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1$.

Выделим полный квадрат для группы с $y$:
$y^2 + 4y = (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$((x - 1)^2 - 1) + ((y + 2)^2 - 4) + 4 = 0$

Упростим выражение:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 1 - 4 + 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1$

Это каноническое уравнение окружности, которое можно представить в виде $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 1^2$.
Отсюда следует, что это окружность с центром в точке с координатами $(1, -2)$ и радиусом $R = 1$.
Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом $1$.

19. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(2; 1)$ и параллельную оси:

а) $Ox$;

б) $Oy$.

а) Ox

Прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), является горизонтальной. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это константа, равная ординате (координате $y$) любой точки, лежащей на этой прямой.

По условию, прямая проходит через точку A с координатами (2; 1). Это означает, что для всех точек на этой прямой координата $y$ должна быть постоянной и равной ординате точки A.

Ордината точки A(2; 1) равна 1. Следовательно, константа $c$ в уравнении прямой равна 1.

Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = 1$.

Ответ: $y = 1$

б) Oy

Прямая, параллельная оси ординат (оси Oy), является вертикальной. Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — это константа, равная абсциссе (координате $x$) любой точки, лежащей на этой прямой.

По условию, прямая проходит через точку A с координатами (2; 1). Это означает, что для всех точек на этой прямой координата $x$ должна быть постоянной и равной абсциссе точки A.

Абсцисса точки A(2; 1) равна 2. Следовательно, константа $c$ в уравнении прямой равна 2.

Таким образом, уравнение искомой прямой: $x = 2$.

Ответ: $x = 2$