Номер 8, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 0)$, $B$ и $C(2; 6)$ являются последовательными вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки $B$.

Пусть искомая вершина параллелограмма B имеет координаты $(x; y)$.

В условии сказано, что точки O(0; 0), A(6; 0), B и C(2; 6) являются последовательными вершинами. Это означает, что мы имеем дело с параллелограммом OABC.

Основное свойство диагоналей любого параллелограмма заключается в том, что они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Следовательно, середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали OB.

Найдем координаты середины диагонали AC. Обозначим эту точку как M. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим известные значения координат точек A(6; 0) и C(2; 6):

$x_M = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_M = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, середина диагонали AC, точка M, имеет координаты (4; 3).

Теперь найдем координаты середины диагонали OB. Эта точка также является точкой M(4; 3). Используем координаты точек O(0; 0) и B(x; y):

$x_M = \frac{x_O + x}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$

$y_M = \frac{y_O + y}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв координаты точки M, найденные двумя способами:

$\frac{x}{2} = 4$

$\frac{y}{2} = 3$

Решив эти простые уравнения, находим координаты точки B:

$x = 4 \cdot 2 = 8$

$y = 3 \cdot 2 = 6$

Значит, вершина B имеет координаты (8; 6).

Ответ: B(8; 6)