Номер 9, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $B(8; 10)$, $C(2; 8)$ являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки $P$ пересечения его диагоналей.

Даны вершины четырехугольника O(0; 0), A(6; 2), B(8; 10), C(2; 8). Точка $P$ является точкой пересечения его диагоналей. В четырехугольнике OABC диагоналями являются отрезки, соединяющие противоположные вершины: OB и AC. Точка пересечения диагоналей $P$ — это общая точка этих двух отрезков. Чтобы найти ее координаты, сначала определим вид четырехугольника, так как это может упростить решение. Проверим, является ли OABC параллелограммом, сравнив угловые коэффициенты его противоположных сторон. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдем угловой коэффициент стороны OA, соединяющей точки O(0; 0) и A(6; 2):
$k_{OA} = \frac{2 - 0}{6 - 0} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Найдем угловой коэффициент противоположной стороны CB, соединяющей точки C(2; 8) и B(8; 10):
$k_{CB} = \frac{10 - 8}{8 - 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Так как $k_{OA} = k_{CB}$, стороны OA и CB параллельны.

Теперь проверим вторую пару сторон: OC и AB.Найдем угловой коэффициент стороны OC, соединяющей точки O(0; 0) и C(2; 8):
$k_{OC} = \frac{8 - 0}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4$.

Найдем угловой коэффициент стороны AB, соединяющей точки A(6; 2) и B(8; 10):
$k_{AB} = \frac{10 - 2}{8 - 6} = \frac{8}{2} = 4$.

Так как $k_{OC} = k_{AB}$, стороны OC и AB также параллельны.

Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, четырехугольник OABC является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $P$ является серединой как диагонали OB, так и диагонали AC. Мы можем найти координаты $P$, вычислив координаты середины любой из диагоналей. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$.

Найдем середину диагонали OB, соединяющей точки O(0; 0) и B(8; 10):
$x_P = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_P = \frac{0 + 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, координаты точки $P$ — (4; 5). Для уверенности можно проверить, является ли эта точка также серединой диагонали AC, соединяющей точки A(6; 2) и C(2; 8):
$x_P = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_P = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Координаты совпадают, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ: $P(4; 5)$.