Номер 15, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Выясните, как расположена точка относительно окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, если она имеет координаты:

а) (2; 1);

б) (4; 3);

в) (3; -4);

г) (5; 0);

д) (-1; 5).

Чтобы определить положение точки относительно окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, нужно подставить координаты этой точки в левую часть уравнения и сравнить результат с числом 25, которое является квадратом радиуса окружности ($R^2$).

Уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — центр, а $R$ — радиус. В нашем случае уравнение $x^2 + y^2 = 25$ соответствует окружности с центром в начале координат (0; 0) и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Пусть дана точка с координатами $(x_0, y_0)$. Тогда:

1. Если $x_0^2 + y_0^2 < 25$, точка находится внутри окружности.

2. Если $x_0^2 + y_0^2 = 25$, точка лежит на окружности.

3. Если $x_0^2 + y_0^2 > 25$, точка находится вне окружности.

Проверим каждую из заданных точек.

а) Точка с координатами (2; 1).
Подставим $x=2$ и $y=1$ в выражение $x^2 + y^2$:
$2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
Поскольку $5 < 25$, точка находится внутри окружности.
Ответ: точка находится внутри окружности.

б) Точка с координатами (4; 3).
Подставим $x=4$ и $y=3$ в выражение $x^2 + y^2$:
$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, точка лежит на окружности.
Ответ: точка лежит на окружности.

в) Точка с координатами (3; –4).
Подставим $x=3$ и $y=-4$ в выражение $x^2 + y^2$:
$3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, точка лежит на окружности.
Ответ: точка лежит на окружности.

г) Точка с координатами (5; 0).
Подставим $x=5$ и $y=0$ в выражение $x^2 + y^2$:
$5^2 + 0^2 = 25 + 0 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, точка лежит на окружности.
Ответ: точка лежит на окружности.

д) Точка с координатами (–1; 5).
Подставим $x=-1$ и $y=5$ в выражение $x^2 + y^2$:
$(-1)^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$.
Поскольку $26 > 25$, точка находится вне окружности.
Ответ: точка находится вне окружности.