Номер 22, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. На координатной плоскости изобразите квадрат, две противолежащие вершины которого имеют координаты $(1; 0)$ и $(4; 1)$.

Найдите его площадь.

Пусть данные противолежащие вершины квадрата — это точки $A(1; 0)$ и $C(4; 1)$. Отрезок $AC$ является диагональю этого квадрата. Для нахождения площади квадрата можно использовать формулу, связывающую площадь ($S$) с длиной его диагонали ($d$): $S = \frac{d^2}{2}$.

Сначала найдем квадрат длины диагонали $AC$, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Подставим координаты точек $A$ и $C$:

$d^2 = (4 - 1)^2 + (1 - 0)^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$.

Теперь, зная квадрат длины диагонали, мы можем вычислить площадь квадрата:

$S = \frac{d^2}{2} = \frac{10}{2} = 5$ (квадратных единиц).

Чтобы изобразить квадрат, необходимо найти координаты двух других вершин, назовем их $B$ и $D$. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Центр квадрата (точка пересечения диагоналей) $M$ является серединой отрезка $AC$. Его координаты: $M = (\frac{1+4}{2}; \frac{0+1}{2}) = (2.5; 0.5)$. Используя свойства векторов или геометрические построения, можно найти, что координаты двух других вершин: $B(2; 2)$ и $D(3; -1)$. Таким образом, на координатной плоскости квадрат будет иметь вершины в точках $(1; 0)$, $(2; 2)$, $(4; 1)$ и $(3; -1)$.

Основной вопрос задачи — найти площадь. Мы ее уже вычислили.

Ответ: 5.