Номер 24, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Найти его площадь.

24. На координатной плоскости изобразите параллелограмм $OABC$, для которого $O(0; 0)$, $A(3; 1)$, $B(3; 3)$. Найдите его площадь.

1. Нахождение координат четвертой вершины параллелограмма.

Пусть искомая вершина $C$ имеет координаты $(x_C, y_C)$. В параллелограмме $OABC$ стороны $OA$ и $CB$ параллельны и равны, а также стороны $OC$ и $AB$ параллельны и равны. Это означает, что векторы, представляющие эти стороны, равны. Воспользуемся равенством векторов $\vec{OC} = \vec{AB}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(3; 1)$ и $B(3; 3)$:$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 3; 3 - 1) = (0; 2)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{OC}$, зная координаты точки $O(0; 0)$ и приняв координаты $C$ за $(x_C, y_C)$:$\vec{OC} = (x_C - x_O; y_C - y_O) = (x_C - 0; y_C - 0) = (x_C; y_C)$.

Так как $\vec{OC} = \vec{AB}$, то их соответствующие координаты равны:$(x_C; y_C) = (0; 2)$.Следовательно, вершина $C$ имеет координаты $(0; 2)$.

2. Изображение параллелограмма на координатной плоскости.

Теперь, когда известны координаты всех четырех вершин — $O(0; 0)$, $A(3; 1)$, $B(3; 3)$ и $C(0; 2)$ — можно построить параллелограмм. Для этого нужно отметить данные точки на координатной плоскости и последовательно соединить их отрезками.

3. Нахождение площади параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле произведения основания на высоту: $S = a \cdot h$.

В качестве основания $a$ удобно взять сторону $OC$, которая лежит на оси ординат (оси $Oy$). Длина этого основания равна расстоянию между точками $O(0; 0)$ и $C(0; 2)$:$a = |OC| = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2$.

Высота $h$ — это перпендикулярное расстояние от прямой, содержащей основание $OC$ (то есть, от оси $Oy$, уравнение которой $x=0$), до параллельной ей прямой, содержащей сторону $AB$. Сторона $AB$ соединяет точки $A(3; 1)$ и $B(3; 3)$, следовательно, она лежит на вертикальной прямой, заданной уравнением $x=3$.

Расстояние между параллельными прямыми $x=0$ и $x=3$ равно $3$. Таким образом, высота $h = 3$.

Теперь вычислим площадь параллелограмма:$S = a \cdot h = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.