Номер 23, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23.На координатной плоскости изобразите прямоугольник, три вершины которого имеют координаты $(-3; 0)$, $(-1; -2)$, $(0; 3)$. Найдите его площадь.

Для решения задачи сначала определим, какие из отрезков, соединяющих данные точки, являются сторонами прямоугольника, а какой — диагональю. Затем найдем длины сторон и вычислим площадь.

1. Построение прямоугольника и определение его сторон

Обозначим данные вершины как A(-3; 0), B(-1; -2) и C(0; 3). Чтобы понять их взаимное расположение, найдем квадраты расстояний между каждой парой точек. Расстояние $d$ между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадраты длин отрезков AB, BC и AC:

$|AB|^2 = (-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2 = (2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$.

$|BC|^2 = (0 - (-1))^2 + (3 - (-2))^2 = (1)^2 + (5)^2 = 1 + 25 = 26$.

$|AC|^2 = (0 - (-3))^2 + (3 - 0)^2 = (3)^2 + (3)^2 = 9 + 9 = 18$.

Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника ABC. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Сравним суммы квадратов сторон: $8 + 18 = 26$.

Мы видим, что $|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом при вершине A. Следовательно, отрезки AB и AC являются смежными сторонами (длиной и шириной) искомого прямоугольника, а отрезок BC — его диагональю.

Четвертую вершину D можно найти, используя правило параллелограмма (прямоугольник является частным случаем параллелограмма). Для прямоугольника ABDC, где A — вершина с прямым углом, вектор $\vec{AD}$ должен быть равен сумме векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Но проще использовать правило, что координаты четвертой вершины D(x; y) можно найти по формуле $\vec{D} = \vec{B} + \vec{C} - \vec{A}$.

$x_D = x_B + x_C - x_A = -1 + 0 - (-3) = 2$

$y_D = y_B + y_C - y_A = -2 + 3 - 0 = 1$

Таким образом, четвертая вершина имеет координаты D(2; 1). Прямоугольник можно изобразить, соединив последовательно вершины A(-3; 0), B(-1; -2), D(2; 1) и C(0; 3).

Ответ: Прямоугольник имеет вершины с координатами (-3; 0), (-1; -2), (2; 1), (0; 3).

2. Нахождение площади

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. В нашем случае это длины сторон AB и AC.

Длина стороны AB: $|AB| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Длина стороны AC: $|AC| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Вычислим площадь $S$:

$S = |AB| \cdot |AC| = \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.