Страница 6 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противоположащих углов равна $50^\circ$.

Пусть дана равнобедренная трапеция. Обозначим ее углы как $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha$ – острый угол при большем основании, а $\beta$ – тупой угол при меньшем основании. В равнобедренной трапеции два острых угла, равных $\alpha$, и два тупых угла, равных $\beta$.

Ключевое свойство любой трапеции заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Противолежащие углы в равнобедренной трапеции — это острый и тупой углы. По условию задачи, их разность равна $50^\circ$. Так как $\beta$ – тупой угол, а $\alpha$ – острый, то $\beta > \alpha$. Запишем второе уравнение:

$\beta - \alpha = 50^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta - \alpha = 50^\circ\end{cases}$

Можно решить эту систему, например, методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 50^\circ$

$2\beta = 230^\circ$

$\beta = \frac{230^\circ}{2} = 115^\circ$

Мы нашли величину большего угла. Теперь найдем величину меньшего угла $\alpha$, подставив значение $\beta$ в первое уравнение:

$\alpha + 115^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 115^\circ$

$\alpha = 65^\circ$

Итак, углы трапеции равны $65^\circ$ и $115^\circ$. Меньший из них равен $65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$

18. Один угол равнобедренной трапеции в два раза больше другого.

Найдите больший угол этой трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет $180^\circ$. Таким образом, в трапеции есть два различных угла: один острый ($\alpha$) и один тупой ($\beta$), и их сумма равна $180^\circ$. Согласно условию задачи, один угол в два раза больше другого. Поскольку тупой угол всегда больше острого, мы можем записать: $\beta = 2\alpha$. Подставим это соотношение в формулу суммы углов: $\alpha + \beta = 180^\circ$. Получаем уравнение: $\alpha + 2\alpha = 180^\circ$. Решим его: $3\alpha = 180^\circ$, откуда $\alpha = 180^\circ / 3 = 60^\circ$. Это мы нашли меньший, острый угол. Больший, тупой угол будет равен: $\beta = 2\alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Задача просит найти больший угол. Ответ: $120^\circ$.

19. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $220^\circ$. Найдите меньший угол трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим два равных угла при одном основании как $ \alpha $, а два равных угла при другом основании как $ \beta $. Также в любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Таким образом, $ \alpha + \beta = 180° $. Это означает, что в трапеции (если она не является прямоугольником) всегда есть два острых угла и два тупых.

По условию задачи, сумма двух углов равна 220°. Так как $ 220° \neq 180° $, это не могут быть углы, прилежащие к одной боковой стороне. Следовательно, это сумма двух равных между собой углов.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Сумма двух острых углов равна 220°. Пусть острый угол равен $ \alpha $. Тогда $ \alpha + \alpha = 220° $, откуда $ 2\alpha = 220° $ и $ \alpha = 110° $. Это противоречит тому, что угол $ \alpha $ острый (то есть $ \alpha < 90° $). Значит, этот вариант невозможен.

2. Сумма двух тупых углов равна 220°. Пусть тупой угол равен $ \beta $. Тогда $ \beta + \beta = 220° $, откуда $ 2\beta = 220° $ и $ \beta = 110° $. Это значение является допустимым для тупого угла ($ 90° < 110° < 180° $). Таким образом, больший угол трапеции равен 110°.

Теперь, зная больший угол, мы можем найти меньший угол $ \alpha $, используя свойство суммы углов при боковой стороне:

$ \alpha + \beta = 180° $

$ \alpha + 110° = 180° $

$ \alpha = 180° - 110° = 70° $

Итак, меньший угол трапеции равен 70°.

Ответ: 70

20. Два противолежащих угла равнобедренной трапеции относятся как 4 : 5. Найдите меньший угол трапеции.

В равнобедренной трапеции сумма противолежащих углов равна $180°$. Это следует из того, что углы при любом из оснований равны, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180°$. Пусть углы трапеции $∠A$, $∠B$, $∠C$ и $∠D$. В равнобедренной трапеции $∠A = ∠D$ и $∠B = ∠C$. Также $∠A + ∠B = 180°$. Заменив $∠B$ на равный ему $∠C$, получим $∠A + ∠C = 180°$.

По условию задачи, два противолежащих угла относятся как $4:5$. Обозначим эти углы как $4x$ и $5x$. Их сумма должна быть равна $180°$. Составим и решим уравнение:

$4x + 5x = 180°$

$9x = 180°$

$x = \frac{180°}{9}$

$x = 20°$

Теперь найдем величины этих двух углов:

Первый угол: $4x = 4 \cdot 20° = 80°$.

Второй угол: $5x = 5 \cdot 20° = 100°$.

Углы трапеции равны $80°$ и $100°$. Два других угла будут им равны соответственно, то есть углы трапеции — это $80°$, $80°$, $100°$, $100°$.

Меньший угол трапеции — это наименьшее из найденных значений.

Ответ: $80°$.

21. Два противоположных угла равнобедренной трапеции относятся как 2 : 3. Найдите больший угол трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Также для любой равнобедренной трапеции справедливо свойство, что сумма её противолежащих углов равна $180^\circ$, так как вокруг неё всегда можно описать окружность.

В условии сказано, что противолежащие углы относятся как $2:3$. Так как эти углы не равны (иначе их отношение было бы $1:1$), один из них острый, а другой — тупой.

Пусть меньший из этих углов равен $2x$, а больший — $3x$. Исходя из свойства о сумме противолежащих углов, мы можем составить уравнение:

$2x + 3x = 180^\circ$

Решим это уравнение:

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5}$

$x = 36^\circ$

Теперь найдем величины углов трапеции. Меньший угол равен:

$2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

Больший угол равен:

$3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

Таким образом, в трапеции два острых угла по $72^\circ$ и два тупых угла по $108^\circ$. Требуется найти больший угол.

Ответ: $108^\circ$

22. Сумма двух углов прямоугольной трапеции равна 200°. Найдите меньший угол трапеции.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Это означает, что два угла при этой боковой стороне являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Пусть углы трапеции равны $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Пусть $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Углы, прилежащие к другой боковой стороне (в нашем случае $\angle C$ и $\angle D$), в сумме дают $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях и секущей. То есть, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

По условию задачи, сумма двух каких-то углов трапеции равна $200^\circ$. Рассмотрим все возможные пары углов:

1. Сумма двух прямых углов: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это не соответствует условию ($180^\circ \neq 200^\circ$).

2. Сумма двух углов, прилежащих к боковой стороне CD: $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Это также не соответствует условию.

3. Следовательно, искомая сумма в $200^\circ$ состоит из одного прямого угла и одного из двух оставшихся углов (одного тупого и одного острого). Сумма прямого и острого угла будет меньше $180^\circ$ ($90^\circ + \text{острый угол} < 180^\circ$), значит, речь идет о сумме прямого и тупого угла.

Пусть один из углов равен $90^\circ$, а другой, тупой, равен $\alpha$.

$90^\circ + \alpha = 200^\circ$

Находим величину тупого угла:

$\alpha = 200^\circ - 90^\circ = 110^\circ$

Теперь найдем четвертый угол трапеции, который будет острым. Этот острый угол и найденный тупой угол в сумме дают $180^\circ$. Обозначим острый угол как $\beta$.

$\alpha + \beta = 180^\circ$

$110^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Итак, мы нашли все четыре угла трапеции: $90^\circ, 90^\circ, 110^\circ, 70^\circ$.

Наименьший из этих углов — $70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

23. Сумма двух углов прямоугольной трапеции равна $160^\circ$. Найдите больший угол трапеции.

Решение:

Прямоугольная трапеция имеет два угла, равных по $90°$. Обозначим углы трапеции как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$. Пусть $\angle A = \angle B = 90°$.

По условию, сумма двух углов трапеции равна $160°$. Рассмотрим, какие это могут быть углы:

1. Это не могут быть два прямых угла, так как их сумма $90° + 90° = 180°$, что не равно $160°$.

2. Это не могут быть два угла, прилежащие к боковой стороне (не перпендикулярной основаниям), так как их сумма в трапеции всегда равна $180°$. Пусть это углы $\angle C$ и $\angle D$. Тогда $\angle C + \angle D = 180°$, что не равно $160°$.

3. Следовательно, данная сумма $160°$ является суммой одного из прямых углов ($90°$) и одного из двух других углов (острого или тупого). Пусть один из этих углов равен $\alpha$.

Тогда получаем уравнение: $90° + \alpha = 160°$.

Отсюда находим этот угол: $\alpha = 160° - 90° = 70°$.

Мы нашли один из углов трапеции, который не является прямым. Это острый угол, так как он меньше $90°$.

Теперь найдем четвертый угол. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180°$. Углы $70°$ и четвертый угол $\beta$ прилежат к одной боковой стороне. Значит:

$70° + \beta = 180°$

$\beta = 180° - 70° = 110°$.

Таким образом, углы нашей прямоугольной трапеции равны $90°, 90°, 70°, 110°$.

Самый большой из этих углов — $110°$.

Ответ: 110°.

24. Угол между диагоналями равнобедренной трапеции равен $76^\circ$.

Найдите угол между основанием и диагональю трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB=CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

В равнобедренной трапеции диагонали равны ($AC=BD$), и точка пересечения делит их на попарно равные отрезки: $AO=DO$ и $BO=CO$. Из этого следует, что треугольник $\triangle AOD$ является равнобедренным, так как его стороны $AO$ и $DO$ равны.

Мы ищем угол между основанием и диагональю, например, угол $\angle CAD$. Этот угол является углом при основании в равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому сумма углов при основании $\angle OAD$ и $\angle ODA$ равна $180^\circ - \angle AOD$. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($\angle OAD = \angle ODA$), то искомый угол $\angle CAD$ (он же $\angle OAD$) можно найти по формуле:

$\angle CAD = \frac{180^\circ - \angle AOD}{2}$

Угол между диагоналями по условию равен 76°. Как правило, под углом между пересекающимися прямыми понимают острый угол. При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов: одна пара острых по $76^\circ$ и одна пара тупых по $180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$.

В зависимости от геометрии трапеции, угол $\angle AOD$, который находится напротив основания $AD$, может быть как острым, так и тупым. Это приводит к двум возможным сценариям решения задачи.

Первый сценарий: угол $\angle AOD$ является тупым, то есть $\angle AOD = 104^\circ$. В этом случае острый угол между диагоналями в $76^\circ$ — это угол $\angle AOB$, противолежащий боковой стороне.

Подставляем значение $\angle AOD = 104^\circ$ в нашу формулу:

$\angle CAD = \frac{180^\circ - 104^\circ}{2} = \frac{76^\circ}{2} = 38^\circ$

Второй сценарий: угол $\angle AOD$ является острым, то есть $\angle AOD = 76^\circ$.

Подставляем значение $\angle AOD = 76^\circ$ в нашу формулу:

$\angle CAD = \frac{180^\circ - 76^\circ}{2} = \frac{104^\circ}{2} = 52^\circ$

Так как условие задачи не позволяет однозначно определить, какой из углов при пересечении диагоналей ($\angle AOD$ или $\angle AOB$) является острым, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $38^\circ$ или $52^\circ$.

Найдите угол между основанием и диагональю трапеции.

25. Три угла выпуклого четырехугольника равны $60^\circ$, $80^\circ$ и $100^\circ$. Найдите четвертый угол четырехугольника.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. Это свойство следует из общей формулы для суммы внутренних углов произвольного выпуклого n-угольника: $S = (n-2) \cdot 180°$. Для четырехугольника число сторон $n=4$, поэтому сумма его углов равна $(4-2) \cdot 180° = 2 \cdot 180° = 360°$.
По условию задачи нам известны три угла четырехугольника: $60°$, $80°$ и $100°$. Обозначим величину четвертого, неизвестного угла, через $x$.
Исходя из теоремы о сумме углов четырехугольника, мы можем составить уравнение:
$60° + 80° + 100° + x = 360°$
Сначала вычислим сумму известных углов:
$60° + 80° + 100° = 140° + 100° = 240°$
Теперь подставим это значение в наше уравнение:
$240° + x = 360°$
Чтобы найти $x$, необходимо вычесть сумму известных углов из общей суммы углов четырехугольника:
$x = 360° - 240°$
$x = 120°$
Следовательно, четвертый угол выпуклого четырехугольника равен $120°$.
Ответ: 120°.

26. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна $300^\circ$.
Найдите его четвертый угол.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника постоянна и равна $360^\circ$. Это можно доказать, разбив четырехугольник диагональю на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна $180^\circ$, следовательно, сумма углов четырехугольника будет $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Пусть углы четырехугольника равны $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. Тогда их сумма равна:

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ$

По условию задачи, сумма трех углов равна $300^\circ$. Допустим, это углы $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$:

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 300^\circ$

Чтобы найти величину четвертого угла ($\angle 4$), нужно из общей суммы углов четырехугольника вычесть сумму трех известных углов:

$\angle 4 = 360^\circ - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3)$

Подставим известное значение:

$\angle 4 = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$

Таким образом, четвертый угол выпуклого четырехугольника равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

27. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1 : 2 : 3 : 4.

Найдите больший угол четырехугольника.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника составляет $360^\circ$.

В задаче указано, что углы четырехугольника относятся как $1 : 2 : 3 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры углов можно представить в виде:

Первый угол: $1x = x$
Второй угол: $2x$
Третий угол: $3x$
Четвертый угол: $4x$

Составим уравнение, исходя из того, что сумма всех углов равна $360^\circ$:

$x + 2x + 3x + 4x = 360$

Сложим все члены с $x$ в левой части уравнения:

$10x = 360$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{360}{10} = 36$

Итак, одна часть в данном соотношении равна $36^\circ$.

Нам нужно найти больший угол четырехугольника. Больший угол соответствует наибольшей части в отношении, то есть $4x$.

Вычислим величину большего угла:

$4x = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Остальные углы равны: $1 \cdot 36^\circ = 36^\circ$, $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$, $3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.

Проверка: $36^\circ + 72^\circ + 108^\circ + 144^\circ = 360^\circ$.

Ответ: $144^\circ$.

28. В четырехугольнике $ABCD$ $AB = AD$, $BC = CD$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 105^{\circ}$. Найдите угол $C$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи дано, что $AB = AD$, $BC = CD$, $\angle A = 60^{\circ}$ и $\angle B = 105^{\circ}$. Необходимо найти угол $C$.

1. Проведем диагональ $BD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как стороны $AB$ и $AD$ равны ($AB = AD$), то треугольник $ABD$ является равнобедренным. Угол при вершине $A$, лежащий между равными сторонами, равен $60^{\circ}$. Равнобедренный треугольник, у которого один из углов равен $60^{\circ}$, является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны ($AB = AD = BD$) и все углы равны по $60^{\circ}$. Таким образом, $\angle ABD = \angle ADB = 60^{\circ}$.

2. Угол $B$ четырехугольника $ABCD$ (то есть $\angle ABC$) состоит из двух углов: $\angle ABD$ и $\angle CBD$. По условию $\angle ABC = 105^{\circ}$. Мы нашли, что $\angle ABD = 60^{\circ}$. Теперь мы можем вычислить величину угла $\angle CBD$:

$\angle CBD = \angle ABC - \angle ABD = 105^{\circ} - 60^{\circ} = 45^{\circ}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По условию $BC = CD$, следовательно, треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle CDB = \angle CBD$.

4. Так как мы уже нашли, что $\angle CBD = 45^{\circ}$, то и $\angle CDB = 45^{\circ}$.

5. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $BCD$ это записывается как $\angle BCD + \angle CBD + \angle CDB = 180^{\circ}$. Искомый угол $C$ четырехугольника $ABCD$ — это угол $\angle BCD$. Найдем его:

$\angle C = \angle BCD = 180^{\circ} - (\angle CBD + \angle CDB)$

$\angle C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ})$

$\angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ}$

$\angle C = 90^{\circ}$

Проверим полученный результат, вычислив все углы четырехугольника. Угол $D$ равен сумме углов $\angle ADB$ и $\angle CDB$.

$\angle D = \angle ADB + \angle CDB = 60^{\circ} + 45^{\circ} = 105^{\circ}$.

Сумма углов четырехугольника $ABCD$ равна:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 60^{\circ} + 105^{\circ} + 90^{\circ} + 105^{\circ} = 360^{\circ}$.

Сумма углов равна $360^{\circ}$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $90^{\circ}$.

29. Углы выпуклого четырехугольника относятся как $1 : 2 : 2 : 4$.

Найдите меньший угол четырехугольника.

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

Согласно условию, углы четырехугольника относятся как $1 : 2 : 2 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда величины углов можно записать как $x$, $2x$, $2x$ и $4x$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма углов равна $360^\circ$:

$x + 2x + 2x + 4x = 360$

Сложим все части с переменной $x$:

$9x = 360$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{360}{9}$

$x = 40$

Мы нашли значение одной части в отношении, оно равно $40^\circ$.

Чтобы найти меньший угол, нужно умножить наименьшую долю в отношении (то есть 1) на найденное значение $x$.

Меньший угол = $1 \cdot x = 1 \cdot 40^\circ = 40^\circ$.

Для проверки можно найти и остальные углы:

Второй угол: $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$

Третий угол: $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$

Четвертый угол: $4 \cdot 40^\circ = 160^\circ$

Сумма углов: $40^\circ + 80^\circ + 80^\circ + 160^\circ = 360^\circ$.

Таким образом, наименьший угол четырехугольника равен $40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

1. Периметр параллелограмма равен 50 см. Одна сторона параллелограмма на 5 см меньше другой. Найдите большую сторону параллелограмма.

1. Пусть одна сторона параллелограмма равна $a$, а другая, смежная с ней, равна $b$.

По определению, периметр параллелограмма ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, формула для периметра выглядит так:

$P = a + b + a + b = 2(a + b)$

По условию задачи, периметр равен 50 см:

$2(a + b) = 50$

Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму двух смежных сторон:

$a + b = 25$

Также из условия известно, что одна сторона на 5 см меньше другой. Пусть $b$ — это большая сторона, тогда меньшая сторона $a$ будет равна $b - 5$.

Подставим это выражение в уравнение для суммы сторон:

$(b - 5) + b = 25$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $b$:

$2b - 5 = 25$

Перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2b = 25 + 5$

$2b = 30$

Найдем $b$:

$b = 30 / 2$

$b = 15$ см.

Итак, большая сторона параллелограмма равна 15 см. Для проверки найдем меньшую сторону:

$a = b - 5 = 15 - 5 = 10$ см.

Проверим, выполняется ли условие для периметра:

$P = 2(10 + 15) = 2 \cdot 25 = 50$ см. Все верно.

Ответ: 15 см.

2. Одна сторона параллелограмма в два раза больше другой. Найдите большую сторону, если периметр параллелограмма равен 30 см.

Пусть меньшая сторона параллелограмма равна $a$. Тогда, согласно условию задачи, большая сторона будет равна $2a$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$, где $x$ и $y$ — длины смежных сторон. По условию, периметр $P$ равен 30 см.

Составим уравнение, подставив известные значения в формулу периметра:

$2(a + 2a) = 30$

Теперь решим это уравнение:

$2(3a) = 30$

$6a = 30$

$a = 30 \div 6$

$a = 5$ (см)

Таким образом, мы нашли длину меньшей стороны. Длина большей стороны равна $2a$.

$2 \cdot 5 = 10$ (см)

Ответ: 10 см.

3. Две стороны параллелограмма относятся как $2 : 3$, а периметр его равен 60 см. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

3. Обозначим две смежные стороны параллелограмма как $a$ и $b$. По условию задачи, их длины относятся как $2:3$. Это значит, что мы можем выразить их через некоторую общую меру $x$:

$a = 2x$

$b = 3x$

Из этих двух сторон меньшей будет сторона $a$, так как $2x < 3x$ (при $x>0$).

Периметр параллелограмма $P$ равен удвоенной сумме двух его смежных сторон: $P = 2(a + b)$.

По условию, периметр равен 60 см. Подставим в формулу известные значения и выражения для сторон:

$60 = 2(2x + 3x)$

Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

$60 = 2(5x)$
$60 = 10x$
$x = \frac{60}{10}$
$x = 6$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длину меньшей стороны $a$:

$a = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Длина большей стороны $b$ будет равна $b = 3x = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Проверим правильность вычислений, подставив найденные длины сторон в формулу периметра:

$P = 2(12 + 18) = 2(30) = 60$ см.

Результат совпадает с условием задачи. Следовательно, меньшая сторона параллелограмма равна 12 см.

Ответ: 12 см.

4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 10$ см, а $AC$ — основание. Пусть $D$ — произвольная точка на основании $AC$.

Через точку $D$ проведены две прямые:

1. Прямая, параллельная стороне $AB$, пересекающая сторону $BC$ в точке $E$. Таким образом, $DE \parallel AB$.

2. Прямая, параллельная стороне $BC$, пересекающая сторону $AB$ в точке $F$. Таким образом, $DF \parallel BC$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $FBED$. По построению его противоположные стороны попарно параллельны: $DE \parallel FB$ (так как $DE \parallel AB$) и $DF \parallel EB$ (так как $DF \parallel BC$). Следовательно, по определению, четырехугольник $FBED$ является параллелограммом.

Периметр параллелограмма $FBED$ вычисляется по формуле $P_{FBED} = 2 \cdot (FB + DF)$.

Теперь воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и параллельных прямых.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим параллельные прямые $DF$ и $BC$ и секущую $AC$. Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны, поэтому $\angle FDA = \angle BCA$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle BAC = \angle FDA$.

Теперь рассмотрим треугольник $AFD$. В нем два угла равны: $\angle FAD$ (это тот же угол, что и $\angle BAC$) и $\angle FDA$. Треугольник, у которого равны два угла, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AFD$ является равнобедренным с основанием $AD$, а его боковые стороны равны: $AF = DF$.

Вернемся к вычислению периметра. Мы знаем, что длина боковой стороны исходного треугольника $AB$ равна 10 см. Точка $F$ лежит на стороне $AB$, поэтому длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AF$ и $FB$: $AB = AF + FB$.

Заменим в этом равенстве отрезок $AF$ на равный ему отрезок $DF$:

$AB = DF + FB = 10$ см.

Таким образом, мы нашли, что сумма длин двух смежных сторон параллелограмма $FBED$ равна 10 см.

Теперь мы можем найти периметр этого параллелограмма:

$P_{FBED} = 2 \cdot (FB + DF) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.