Номер 24, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Угол между диагоналями равнобедренной трапеции равен $76^\circ$.

Найдите угол между основанием и диагональю трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB=CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

В равнобедренной трапеции диагонали равны ($AC=BD$), и точка пересечения делит их на попарно равные отрезки: $AO=DO$ и $BO=CO$. Из этого следует, что треугольник $\triangle AOD$ является равнобедренным, так как его стороны $AO$ и $DO$ равны.

Мы ищем угол между основанием и диагональю, например, угол $\angle CAD$. Этот угол является углом при основании в равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому сумма углов при основании $\angle OAD$ и $\angle ODA$ равна $180^\circ - \angle AOD$. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($\angle OAD = \angle ODA$), то искомый угол $\angle CAD$ (он же $\angle OAD$) можно найти по формуле:

$\angle CAD = \frac{180^\circ - \angle AOD}{2}$

Угол между диагоналями по условию равен 76°. Как правило, под углом между пересекающимися прямыми понимают острый угол. При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов: одна пара острых по $76^\circ$ и одна пара тупых по $180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$.

В зависимости от геометрии трапеции, угол $\angle AOD$, который находится напротив основания $AD$, может быть как острым, так и тупым. Это приводит к двум возможным сценариям решения задачи.

Первый сценарий: угол $\angle AOD$ является тупым, то есть $\angle AOD = 104^\circ$. В этом случае острый угол между диагоналями в $76^\circ$ — это угол $\angle AOB$, противолежащий боковой стороне.

Подставляем значение $\angle AOD = 104^\circ$ в нашу формулу:

$\angle CAD = \frac{180^\circ - 104^\circ}{2} = \frac{76^\circ}{2} = 38^\circ$

Второй сценарий: угол $\angle AOD$ является острым, то есть $\angle AOD = 76^\circ$.

Подставляем значение $\angle AOD = 76^\circ$ в нашу формулу:

$\angle CAD = \frac{180^\circ - 76^\circ}{2} = \frac{104^\circ}{2} = 52^\circ$

Так как условие задачи не позволяет однозначно определить, какой из углов при пересечении диагоналей ($\angle AOD$ или $\angle AOB$) является острым, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $38^\circ$ или $52^\circ$.