Номер 28, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В четырехугольнике $ABCD$ $AB = AD$, $BC = CD$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 105^{\circ}$. Найдите угол $C$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи дано, что $AB = AD$, $BC = CD$, $\angle A = 60^{\circ}$ и $\angle B = 105^{\circ}$. Необходимо найти угол $C$.

1. Проведем диагональ $BD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как стороны $AB$ и $AD$ равны ($AB = AD$), то треугольник $ABD$ является равнобедренным. Угол при вершине $A$, лежащий между равными сторонами, равен $60^{\circ}$. Равнобедренный треугольник, у которого один из углов равен $60^{\circ}$, является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны ($AB = AD = BD$) и все углы равны по $60^{\circ}$. Таким образом, $\angle ABD = \angle ADB = 60^{\circ}$.

2. Угол $B$ четырехугольника $ABCD$ (то есть $\angle ABC$) состоит из двух углов: $\angle ABD$ и $\angle CBD$. По условию $\angle ABC = 105^{\circ}$. Мы нашли, что $\angle ABD = 60^{\circ}$. Теперь мы можем вычислить величину угла $\angle CBD$:

$\angle CBD = \angle ABC - \angle ABD = 105^{\circ} - 60^{\circ} = 45^{\circ}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По условию $BC = CD$, следовательно, треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle CDB = \angle CBD$.

4. Так как мы уже нашли, что $\angle CBD = 45^{\circ}$, то и $\angle CDB = 45^{\circ}$.

5. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $BCD$ это записывается как $\angle BCD + \angle CBD + \angle CDB = 180^{\circ}$. Искомый угол $C$ четырехугольника $ABCD$ — это угол $\angle BCD$. Найдем его:

$\angle C = \angle BCD = 180^{\circ} - (\angle CBD + \angle CDB)$

$\angle C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ})$

$\angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ}$

$\angle C = 90^{\circ}$

Проверим полученный результат, вычислив все углы четырехугольника. Угол $D$ равен сумме углов $\angle ADB$ и $\angle CDB$.

$\angle D = \angle ADB + \angle CDB = 60^{\circ} + 45^{\circ} = 105^{\circ}$.

Сумма углов четырехугольника $ABCD$ равна:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 60^{\circ} + 105^{\circ} + 90^{\circ} + 105^{\circ} = 360^{\circ}$.

Сумма углов равна $360^{\circ}$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $90^{\circ}$.