Номер 4, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 10$ см, а $AC$ — основание. Пусть $D$ — произвольная точка на основании $AC$.

Через точку $D$ проведены две прямые:

1. Прямая, параллельная стороне $AB$, пересекающая сторону $BC$ в точке $E$. Таким образом, $DE \parallel AB$.

2. Прямая, параллельная стороне $BC$, пересекающая сторону $AB$ в точке $F$. Таким образом, $DF \parallel BC$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $FBED$. По построению его противоположные стороны попарно параллельны: $DE \parallel FB$ (так как $DE \parallel AB$) и $DF \parallel EB$ (так как $DF \parallel BC$). Следовательно, по определению, четырехугольник $FBED$ является параллелограммом.

Периметр параллелограмма $FBED$ вычисляется по формуле $P_{FBED} = 2 \cdot (FB + DF)$.

Теперь воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и параллельных прямых.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим параллельные прямые $DF$ и $BC$ и секущую $AC$. Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны, поэтому $\angle FDA = \angle BCA$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle BAC = \angle FDA$.

Теперь рассмотрим треугольник $AFD$. В нем два угла равны: $\angle FAD$ (это тот же угол, что и $\angle BAC$) и $\angle FDA$. Треугольник, у которого равны два угла, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AFD$ является равнобедренным с основанием $AD$, а его боковые стороны равны: $AF = DF$.

Вернемся к вычислению периметра. Мы знаем, что длина боковой стороны исходного треугольника $AB$ равна 10 см. Точка $F$ лежит на стороне $AB$, поэтому длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AF$ и $FB$: $AB = AF + FB$.

Заменим в этом равенстве отрезок $AF$ на равный ему отрезок $DF$:

$AB = DF + FB = 10$ см.

Таким образом, мы нашли, что сумма длин двух смежных сторон параллелограмма $FBED$ равна 10 см.

Теперь мы можем найти периметр этого параллелограмма:

$P_{FBED} = 2 \cdot (FB + DF) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.