Номер 10, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Диагонали четырехугольника равны 4 см и 5 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон четырехугольника.

Пусть дан произвольный четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD. По условию, длины диагоналей равны $d_1 = AC = 4$ см и $d_2 = BD = 5$ см.

Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как K, L, M и N соответственно. Нам необходимо найти периметр четырехугольника KLMN.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC. Следовательно, KL является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, KL параллельна диагонали AC и ее длина равна половине длины AC:
$KL = \frac{1}{2} AC$

2. Рассмотрим треугольник ADC. Отрезок MN соединяет середины сторон CD и DA. Следовательно, MN является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, MN параллельна диагонали AC и ее длина равна половине длины AC:
$MN = \frac{1}{2} AC$

3. Рассмотрим треугольник BCD. Отрезок LM соединяет середины сторон BC и CD. Следовательно, LM является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, LM параллельна диагонали BD и ее длина равна половине длины BD:
$LM = \frac{1}{2} BD$

4. Рассмотрим треугольник ABD. Отрезок NK соединяет середины сторон DA и AB. Следовательно, NK является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, NK параллельна диагонали BD и ее длина равна половине длины BD:
$NK = \frac{1}{2} BD$

Периметр четырехугольника KLMN равен сумме длин всех его сторон:
$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$

Подставим в эту формулу выражения для длин сторон, которые мы нашли:
$P_{KLMN} = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD$

Сгруппируем слагаемые:
$P_{KLMN} = (\frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD) = AC + BD$

Таким образом, периметр четырехугольника, образованного серединами сторон исходного четырехугольника (этот четырехугольник называется параллелограммом Вариньона), равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника.

Подставим данные из условия задачи: $AC = 4$ см и $BD = 5$ см.
$P_{KLMN} = 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 9$ см.

Ответ: 9 см.