Номер 15, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 2 см больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, где a — меньшая сторона, а b — большая сторона. Точка пересечения диагоналей прямоугольника является его центром. Расстояние от центра прямоугольника до одной из его сторон равно половине длины перпендикулярной ей стороны.
Следовательно, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны a равно $b/2$, а расстояние до большей стороны b равно $a/2$.

По условию задачи, расстояние до меньшей стороны на 2 см больше, чем расстояние до большей стороны. На основе этого составим первое уравнение:
$b/2 = a/2 + 2$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$b = a + 4$

Также известно, что периметр прямоугольника равен 28 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Составим второе уравнение:
$2(a + b) = 28$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = 14$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} b = a + 4 \\ a + b = 14 \end{cases} $
Подставим выражение для b из первого уравнения во второе:
$a + (a + 4) = 14$
$2a + 4 = 14$
$2a = 14 - 4$
$2a = 10$
$a = 5$

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника равна 5 см. Для проверки можно найти длину большей стороны: $b = 5 + 4 = 9$ см. Периметр в этом случае будет равен $2(5 + 9) = 2 \cdot 14 = 28$ см, что соответствует условию.

Ответ: 5 см.