Номер 14, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая его сторона равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник. Все его углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Проведем в нем диагональ. Согласно условию, эта диагональ делит угол прямоугольника на два угла, которые относятся друг к другу как $1:2$.

Обозначим величину меньшего из этих двух углов как $x$, тогда величина большего угла будет $2x$. В сумме они образуют прямой угол, поэтому мы можем составить уравнение:

$x + 2x = 90^\circ$

Решим это уравнение:

$3x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{3}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, диагональ делит угол прямоугольника на два угла: $30^\circ$ и $2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников. Его катетами являются стороны прямоугольника, а гипотенузой — диагональ. Острые углы этого треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

В геометрии известно, что в треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона. В нашем прямоугольном треугольнике катеты лежат против острых углов $30^\circ$ и $60^\circ$. Поскольку $30^\circ < 60^\circ$, то катет, лежащий против угла в $30^\circ$, является меньшей стороной прямоугольника.

По условию задачи, меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Следовательно, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен 8 см.

Существует важное свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника. Пусть длина диагонали равна $d$. Тогда:

$8 \text{ см} = \frac{1}{2} d$

Чтобы найти длину диагонали, умножим обе части равенства на 2:

$d = 2 \cdot 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Ответ: 16 см.