Номер 13, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Меньшая сторона прямоугольника равна 6 см, диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник. Обозначим его вершины как A, B, C, D. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки, на которые точка O делит диагонали, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

При пересечении диагонали образуют две пары вертикальных углов. По условию, один из этих углов равен 60°. Смежный с ним угол равен $180° - 60° = 120°$. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. Таким образом, меньшая сторона прямоугольника будет находиться напротив меньшего угла, образованного диагоналями. Пусть AB — это меньшая сторона, равная по условию 6 см. Тогда угол $\angle AOB$, лежащий напротив стороны AB в треугольнике AOB, равен 60°.

Рассмотрим треугольник AOB. Он является равнобедренным, так как его боковые стороны AO и BO — это половины диагоналей ($AO = BO$). Мы установили, что угол при вершине $\angle AOB = 60°$. Найдем углы при основании этого треугольника: $\angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - 60°}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$.

Поскольку все три угла в треугольнике AOB равны 60°, этот треугольник является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому $AO = BO = AB$. Так как $AB = 6$ см, то и половины диагоналей равны 6 см: $AO = 6$ см.

Длина диагонали прямоугольника, например AC, равна удвоенной длине своей половины AO. $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.