Номер 17, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Высоты параллелограмма равны 3 см и 4 см. Угол между ними равен $60^\circ$. Найдите большую сторону параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a$ и $b$. Пусть $h_a$ и $h_b$ - высоты, проведенные к этим сторонам соответственно. По условию, высоты равны 3 см и 4 см, а угол между ними равен $60^\circ$.

Проведем обе высоты из одной вершины тупого угла параллелограмма. Эти высоты вместе с двумя сторонами, выходящими из этой вершины, образуют четырехугольник. Сумма углов в этом четырехугольнике равна $360^\circ$. Два угла в этом четырехугольнике прямые (по определению высоты), а третий угол — это угол между высотами, равный $60^\circ$. Тогда четвертый угол, который является острым углом параллелограмма ($\alpha$), можно найти так:$ \alpha = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ $.Это неверно. Угол между высотами и угол параллелограмма, из которого они не проведены, в сумме дают $180^\circ$.Пусть $\gamma=60^\circ$ — угол между высотами. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — углы параллелограмма. Если провести высоты из вершины угла $\beta$, то $\alpha + \gamma = 180^\circ$.Тогда один из углов параллелограмма равен:$ \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $.Это тупой угол. Следовательно, острый угол параллелограмма будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В параллелограмме большей стороне соответствует меньшая высота. Нам нужно найти большую сторону. Обозначим большую сторону через $a$, а меньшую — через $b$. Тогда высота, опущенная на большую сторону $a$, будет меньшей, то есть $h_a = 3$ см. Высота, опущенная на меньшую сторону $b$, будет большей, то есть $h_b = 4$ см.

Площадь параллелограмма можно выразить через сторону, смежную с ней сторону и синус угла между ними. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $a$ (как гипотенузой), высотой $h_b=4$ см и острым углом параллелограмма $60^\circ$. Катет (высота $h_b$), противолежащий этому углу, связан с гипотенузой (стороной $a$) следующим соотношением:$ h_b = a \cdot \sin(60^\circ) $

Подставим известные значения и найдем большую сторону $a$:$ 4 = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $Выразим $a$:$ a = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} $Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$ a = \frac{8\sqrt{3}}{3} $ см.

Для проверки можно найти и меньшую сторону $b$. Для нее справедливо соотношение:$ h_a = b \cdot \sin(60^\circ) $$ 3 = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ b = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $ см.

Сравнивая $a = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ и $b = 2\sqrt{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$, видим, что $a > b$, так что большая сторона найдена верно.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.