Страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 28 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 24 см.

Обозначим стороны прямоугольника как a и b, а его диагональ как d.

Периметр прямоугольника $P_{пр}$ находится по формуле $P_{пр} = 2(a+b)$. Из условия задачи известно, что $P_{пр} = 28$ см.
Составим уравнение:
$2(a+b) = 28$
Разделим обе части на 2, чтобы найти сумму длин смежных сторон прямоугольника:
$a+b = 14$ см.

Диагональ d делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Сторонами каждого такого треугольника являются стороны прямоугольника a, b (катеты) и сама диагональ d (гипотенуза).

Периметр такого треугольника $P_{тр}$ равен сумме длин его сторон: $P_{тр} = a+b+d$.
По условию задачи, $P_{тр} = 24$ см.
Следовательно, мы можем записать:
$a+b+d = 24$

Теперь у нас есть система из двух соотношений:
1) $a+b = 14$
2) $a+b+d = 24$
Мы можем подставить значение суммы $(a+b)$ из первого соотношения во второе:
$14 + d = 24$

Чтобы найти длину диагонали d, решим полученное уравнение:
$d = 24 - 14$
$d = 10$ см.

Ответ: 10 см.

6. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4 см, отсекает тре-угольник, периметр которого равен 15 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ – основания, а $AB$ и $CD$ – боковые стороны. По условию, меньшее основание $BC = 4$ см.

Через конец меньшего основания, например, через точку $B$, проведем прямую, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$.

В результате этого построения трапеция $ABCD$ разделяется на треугольник $ABE$ и четырехугольник $BCDE$.

Рассмотрим четырехугольник $BCDE$. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$, а значит $BC \parallel ED$. По построению, мы провели $BE \parallel CD$. Поскольку у четырехугольника $BCDE$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что:

$CD = BE$

$ED = BC = 4$ см

Периметр трапеции $ABCD$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$

Длину большего основания $AD$ можно выразить как сумму длин отрезков $AE$ и $ED$:

$AD = AE + ED$

Подставим это выражение и равенство $CD = BE$ в формулу периметра трапеции:

$P_{ABCD} = AB + BC + BE + (AE + ED)$

Теперь заменим $ED$ на $BC$:

$P_{ABCD} = AB + BC + BE + AE + BC$

Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить периметр треугольника $ABE$:

$P_{ABCD} = (AB + AE + BE) + BC + BC$

Выражение в скобках $(AB + AE + BE)$ является периметром треугольника $ABE$. По условию задачи, $P_{ABE} = 15$ см.

Таким образом, формула для периметра трапеции принимает вид:

$P_{ABCD} = P_{ABE} + 2 \cdot BC$

Подставим известные значения:

$P_{ABCD} = 15 + 2 \cdot 4 = 15 + 8 = 23$ см.

Ответ: 23 см.

7. В равнобедренной трапеции основания равны 12 см и 27 см, острый угол равен $60^\circ$. Найдите ее периметр.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Согласно условию, меньшее основание $BC = 12$ см, большее основание $AD = 27$ см, а острые углы при большем основании равны $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон: $P = AD + BC + AB + CD$. Поскольку трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны, то есть $AB = CD$. Следовательно, формула для периметра может быть записана как $P = AD + BC + 2 \cdot AB$. Для вычисления периметра необходимо найти длину боковой стороны $AB$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. Образуется прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В равнобедренной трапеции длина отрезка, который высота отсекает от большего основания (отрезок $AH$), равна полуразности оснований.

Вычислим длину отрезка $AH$: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{27 - 12}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем нам известен катет $AH = 7,5$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A = 60^\circ$. Боковая сторона трапеции $AB$ является гипотенузой этого треугольника.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$

Из этой формулы выразим длину гипотенузы $AB$: $AB = \frac{AH}{\cos(\angle A)}$

Подставим известные значения. Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. $AB = \frac{7,5}{\frac{1}{2}} = 7,5 \cdot 2 = 15$ см.

Итак, длина боковой стороны трапеции составляет 15 см. Теперь мы можем найти периметр. $P = AD + BC + 2 \cdot AB = 27 + 12 + 2 \cdot 15 = 39 + 30 = 69$ см.

Ответ: 69 см.

8. Периметр трапеции равен 50 см, а сумма непараллельных сторон равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть стороны трапеции равны $a, b, c, d$, где $a$ и $b$ — это параллельные стороны (основания), а $c$ и $d$ — непараллельные стороны (боковые).

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон. Формула для периметра: $P = a + b + c + d$

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:
Периметр $P = 50$ см.
Сумма непараллельных сторон $c + d = 20$ см.

Мы можем использовать формулу периметра, чтобы найти сумму оснований ($a + b$). Подставим известные значения в формулу: $50 = (a + b) + (c + d)$ $50 = (a + b) + 20$

Теперь найдем сумму оснований: $a + b = 50 - 20$ $a + b = 30$ см

Средняя линия трапеции ($m$) по определению равна полусумме ее оснований. Формула для средней линии: $m = \frac{a + b}{2}$

Подставим найденное значение суммы оснований в эту формулу: $m = \frac{30}{2}$ $m = 15$ см

Ответ: 15 см.

9. Периметр равнобедренной трапеции равен 80 см, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция. Обозначим длины ее оснований как $a$ и $b$, а длину боковой стороны как $c$. Поскольку трапеция равнобедренная, то ее боковые стороны равны.

Периметр $P$ трапеции — это сумма длин всех ее сторон. Для равнобедренной трапеции формула периметра имеет вид:
$P = a + b + c + c = a + b + 2c$

По условию задачи, периметр равен 80 см, следовательно:
$a + b + 2c = 80$

Средняя линия трапеции $m$ находится по формуле как полусумма ее оснований:
$m = \frac{a + b}{2}$

Из условия задачи также известно, что средняя линия равна боковой стороне:
$m = c$

Теперь мы можем объединить полученные сведения. Приравняем выражение для средней линии и длину боковой стороны:
$c = \frac{a + b}{2}$

Из этого соотношения выразим сумму оснований $(a + b)$ через боковую сторону $c$:
$a + b = 2c$

Подставим полученное выражение для $(a + b)$ в формулу периметра:
$(2c) + 2c = 80$

Теперь решим это простое уравнение относительно $c$:
$4c = 80$
$c = \frac{80}{4}$
$c = 20$

Следовательно, боковая сторона трапеции равна 20 см.

Ответ: 20 см.

10. Диагонали четырехугольника равны 4 см и 5 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон четырехугольника.

Пусть дан произвольный четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD. По условию, длины диагоналей равны $d_1 = AC = 4$ см и $d_2 = BD = 5$ см.

Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как K, L, M и N соответственно. Нам необходимо найти периметр четырехугольника KLMN.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC. Следовательно, KL является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, KL параллельна диагонали AC и ее длина равна половине длины AC:
$KL = \frac{1}{2} AC$

2. Рассмотрим треугольник ADC. Отрезок MN соединяет середины сторон CD и DA. Следовательно, MN является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, MN параллельна диагонали AC и ее длина равна половине длины AC:
$MN = \frac{1}{2} AC$

3. Рассмотрим треугольник BCD. Отрезок LM соединяет середины сторон BC и CD. Следовательно, LM является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, LM параллельна диагонали BD и ее длина равна половине длины BD:
$LM = \frac{1}{2} BD$

4. Рассмотрим треугольник ABD. Отрезок NK соединяет середины сторон DA и AB. Следовательно, NK является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, NK параллельна диагонали BD и ее длина равна половине длины BD:
$NK = \frac{1}{2} BD$

Периметр четырехугольника KLMN равен сумме длин всех его сторон:
$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$

Подставим в эту формулу выражения для длин сторон, которые мы нашли:
$P_{KLMN} = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD$

Сгруппируем слагаемые:
$P_{KLMN} = (\frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD) = AC + BD$

Таким образом, периметр четырехугольника, образованного серединами сторон исходного четырехугольника (этот четырехугольник называется параллелограммом Вариньона), равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника.

Подставим данные из условия задачи: $AC = 4$ см и $BD = 5$ см.
$P_{KLMN} = 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

11. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна $\sqrt{8}$ см.

11. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся теоремой Пифагора. Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника, у которых катеты — это стороны квадрата, а гипотенуза — это диагональ.

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ. Согласно теореме Пифагора:

$a^2 + a^2 = d^2$

Упростим это уравнение:

$2a^2 = d^2$

Теперь выразим сторону $a$:

$a^2 = \frac{d^2}{2}$

$a = \sqrt{\frac{d^2}{2}}$

По условию задачи, диагональ $d = \sqrt{8}$ см. Подставим это значение в формулу:

$a^2 = \frac{(\sqrt{8})^2}{2}$

$a^2 = \frac{8}{2}$

$a^2 = 4$

Теперь найдем $a$, взяв квадратный корень из 4:

$a = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, сторона квадрата равна 2 см.

Ответ: 2 см.

12. В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 7 см. Найдите сторону квадрата.

12. Пусть дан квадрат со стороной $a$. Точка пересечения диагоналей, обозначим ее $O$, является центром квадрата. Расстояние от точки $O$ до любой из сторон квадрата — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на сторону.

Рассмотрим две противоположные стороны квадрата, например, $AB$ и $CD$. Проведем через точку $O$ отрезок $HK$, перпендикулярный этим сторонам, где точка $H$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ — на стороне $CD$. Длина этого отрезка $HK$ равна стороне квадрата $a$.

По свойству квадрата, точка пересечения диагоналей $O$ равноудалена от всех его сторон и является серединой отрезка $HK$. Следовательно, расстояние от точки $O$ до стороны $AB$, равное $OH$, составляет половину длины стороны квадрата.

По условию задачи, это расстояние равно 7 см:
$OH = 7$ см.

Так как $OH = \frac{1}{2}a$, то сторону квадрата $a$ можно найти следующим образом:
$a = 2 \cdot OH = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

13. Меньшая сторона прямоугольника равна 6 см, диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник. Обозначим его вершины как A, B, C, D. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки, на которые точка O делит диагонали, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

При пересечении диагонали образуют две пары вертикальных углов. По условию, один из этих углов равен 60°. Смежный с ним угол равен $180° - 60° = 120°$. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. Таким образом, меньшая сторона прямоугольника будет находиться напротив меньшего угла, образованного диагоналями. Пусть AB — это меньшая сторона, равная по условию 6 см. Тогда угол $\angle AOB$, лежащий напротив стороны AB в треугольнике AOB, равен 60°.

Рассмотрим треугольник AOB. Он является равнобедренным, так как его боковые стороны AO и BO — это половины диагоналей ($AO = BO$). Мы установили, что угол при вершине $\angle AOB = 60°$. Найдем углы при основании этого треугольника: $\angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - 60°}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$.

Поскольку все три угла в треугольнике AOB равны 60°, этот треугольник является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому $AO = BO = AB$. Так как $AB = 6$ см, то и половины диагоналей равны 6 см: $AO = 6$ см.

Длина диагонали прямоугольника, например AC, равна удвоенной длине своей половины AO. $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

14. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая его сторона равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник. Все его углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Проведем в нем диагональ. Согласно условию, эта диагональ делит угол прямоугольника на два угла, которые относятся друг к другу как $1:2$.

Обозначим величину меньшего из этих двух углов как $x$, тогда величина большего угла будет $2x$. В сумме они образуют прямой угол, поэтому мы можем составить уравнение:

$x + 2x = 90^\circ$

Решим это уравнение:

$3x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{3}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, диагональ делит угол прямоугольника на два угла: $30^\circ$ и $2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников. Его катетами являются стороны прямоугольника, а гипотенузой — диагональ. Острые углы этого треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

В геометрии известно, что в треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона. В нашем прямоугольном треугольнике катеты лежат против острых углов $30^\circ$ и $60^\circ$. Поскольку $30^\circ < 60^\circ$, то катет, лежащий против угла в $30^\circ$, является меньшей стороной прямоугольника.

По условию задачи, меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Следовательно, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен 8 см.

Существует важное свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника. Пусть длина диагонали равна $d$. Тогда:

$8 \text{ см} = \frac{1}{2} d$

Чтобы найти длину диагонали, умножим обе части равенства на 2:

$d = 2 \cdot 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Ответ: 16 см.

15. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 2 см больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, где a — меньшая сторона, а b — большая сторона. Точка пересечения диагоналей прямоугольника является его центром. Расстояние от центра прямоугольника до одной из его сторон равно половине длины перпендикулярной ей стороны.
Следовательно, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны a равно $b/2$, а расстояние до большей стороны b равно $a/2$.

По условию задачи, расстояние до меньшей стороны на 2 см больше, чем расстояние до большей стороны. На основе этого составим первое уравнение:
$b/2 = a/2 + 2$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$b = a + 4$

Также известно, что периметр прямоугольника равен 28 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Составим второе уравнение:
$2(a + b) = 28$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = 14$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} b = a + 4 \\ a + b = 14 \end{cases} $
Подставим выражение для b из первого уравнения во второе:
$a + (a + 4) = 14$
$2a + 4 = 14$
$2a = 14 - 4$
$2a = 10$
$a = 5$

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника равна 5 см. Для проверки можно найти длину большей стороны: $b = 5 + 4 = 9$ см. Периметр в этом случае будет равен $2(5 + 9) = 2 \cdot 14 = 28$ см, что соответствует условию.

Ответ: 5 см.

16. Две стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см, а его острый угол равен $45^\circ$. Найдите меньшую высоту параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 6$ см и $b = 8$ см, а острый угол между ними $\alpha = 45^\circ$.

В параллелограмме есть две высоты. Меньшая высота проведена к большей стороне. Так как $8 \text{ см} > 6 \text{ см}$, то искомая меньшая высота $h$ проведена к стороне длиной 8 см.

Эту высоту можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $a = 6$ см и острым углом параллелограмма $\alpha = 45^\circ$. В этом треугольнике сторона $a$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{a}$

Отсюда выражаем высоту $h$:
$h = a \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем известные значения:
$h = 6 \cdot \sin(45^\circ)$

Зная, что значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, вычисляем высоту:
$h = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

17. Высоты параллелограмма равны 3 см и 4 см. Угол между ними равен $60^\circ$. Найдите большую сторону параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a$ и $b$. Пусть $h_a$ и $h_b$ - высоты, проведенные к этим сторонам соответственно. По условию, высоты равны 3 см и 4 см, а угол между ними равен $60^\circ$.

Проведем обе высоты из одной вершины тупого угла параллелограмма. Эти высоты вместе с двумя сторонами, выходящими из этой вершины, образуют четырехугольник. Сумма углов в этом четырехугольнике равна $360^\circ$. Два угла в этом четырехугольнике прямые (по определению высоты), а третий угол — это угол между высотами, равный $60^\circ$. Тогда четвертый угол, который является острым углом параллелограмма ($\alpha$), можно найти так:$ \alpha = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ $.Это неверно. Угол между высотами и угол параллелограмма, из которого они не проведены, в сумме дают $180^\circ$.Пусть $\gamma=60^\circ$ — угол между высотами. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — углы параллелограмма. Если провести высоты из вершины угла $\beta$, то $\alpha + \gamma = 180^\circ$.Тогда один из углов параллелограмма равен:$ \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $.Это тупой угол. Следовательно, острый угол параллелограмма будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В параллелограмме большей стороне соответствует меньшая высота. Нам нужно найти большую сторону. Обозначим большую сторону через $a$, а меньшую — через $b$. Тогда высота, опущенная на большую сторону $a$, будет меньшей, то есть $h_a = 3$ см. Высота, опущенная на меньшую сторону $b$, будет большей, то есть $h_b = 4$ см.

Площадь параллелограмма можно выразить через сторону, смежную с ней сторону и синус угла между ними. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $a$ (как гипотенузой), высотой $h_b=4$ см и острым углом параллелограмма $60^\circ$. Катет (высота $h_b$), противолежащий этому углу, связан с гипотенузой (стороной $a$) следующим соотношением:$ h_b = a \cdot \sin(60^\circ) $

Подставим известные значения и найдем большую сторону $a$:$ 4 = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $Выразим $a$:$ a = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} $Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$ a = \frac{8\sqrt{3}}{3} $ см.

Для проверки можно найти и меньшую сторону $b$. Для нее справедливо соотношение:$ h_a = b \cdot \sin(60^\circ) $$ 3 = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ b = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $ см.

Сравнивая $a = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ и $b = 2\sqrt{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$, видим, что $a > b$, так что большая сторона найдена верно.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

18. Найдите меньшую диагональ ромба, сторона которого равна $1 \text{ см}$, а тупой угол равен $120^\circ$.

В ромбе все стороны равны. По условию задачи, сторона ромба равна $1$ см, а тупой угол равен $120^\circ$. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Следовательно, острый угол ромба равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В ромбе меньшая диагональ лежит напротив меньшего (острого) угла. Рассмотрим треугольник, образованный двумя смежными сторонами ромба и его меньшей диагональю. Две стороны этого треугольника равны стороне ромба, то есть по $1$ см, а угол между ними — это острый угол ромба, равный $60^\circ$.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то каждый из углов при основании равен $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла этого треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, третья сторона треугольника, которая является меньшей диагональю ромба, также равна $1$ см.

Ответ: 1 см.

19. Найдите сторону ромба, диагонали которого равны 10 см и 24 см.

Пусть сторона ромба равна $a$, а диагонали равны $d_1$ и $d_2$. По условию задачи дано: $d_1 = 10$ см и $d_2 = 24$ см.

Диагонали ромба обладают важным свойством: они пересекаются под прямым углом (90°) и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенузой является сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей. Найдем длины этих катетов:

Первый катет: $\frac{d_1}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Второй катет: $\frac{d_2}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $a^2 = b^2 + c^2$.

Применим эту теорему к нашему треугольнику:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим числовые значения катетов в формулу:

$a^2 = 5^2 + 12^2$

$a^2 = 25 + 144$

$a^2 = 169$

Чтобы найти длину стороны $a$, извлечем квадратный корень из 169:

$a = \sqrt{169}$

$a = 13$ см.

Следовательно, сторона ромба равна 13 см.

Ответ: 13 см.

20. Диагонали ромба равны 6 см и 8 см. Найдите высоту ромба.

Для решения этой задачи мы найдем площадь ромба двумя способами, а затем приравняем полученные выражения, чтобы найти высоту.

1. Нахождение площади ромба через диагонали.
Площадь ромба ($S$) можно вычислить как половину произведения его диагоналей ($d_1$ и $d_2$).
Дано: $d_1 = 6$ см, $d_2 = 8$ см.
Формула: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.
Вычисление: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

2. Нахождение стороны ромба.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катетами этих треугольников являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба ($a$).
Половины диагоналей равны $\frac{6}{2} = 3$ см и $\frac{8}{2} = 4$ см.
По теореме Пифагора найдем сторону $a$:
$a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$a = \sqrt{25} = 5$ см.

3. Нахождение высоты ромба.
Площадь ромба (как и любого параллелограмма) также равна произведению его стороны на высоту ($h$), опущенную на эту сторону.
Формула: $S = a \cdot h$.
Мы знаем, что $S = 24$ см² и $a = 5$ см. Подставим эти значения в формулу и выразим высоту $h$:
$24 = 5 \cdot h$
$h = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

Ответ: 4,8 см.

21. Средняя линия трапеции равна 12 см, а большее основание равно 18 см. Найдите меньшее основание трапеции.

Для решения данной задачи воспользуемся определением и свойством средней линии трапеции. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям, а ее длина равна полусумме длин оснований.

Пусть $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $m$ — длина ее средней линии. Согласно свойству средней линии, ее длина вычисляется по формуле:

$m = \frac{a + b}{2}$

В условии задачи даны следующие значения:

• Длина средней линии $m = 12$ см.
• Длина большего основания $a = 18$ см.

Нам необходимо найти длину меньшего основания $b$.

Подставим известные значения в формулу:

$12 = \frac{18 + b}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$. Для этого сначала умножим обе части уравнения на 2:

$12 \cdot 2 = 18 + b$

$24 = 18 + b$

Далее, чтобы найти $b$, вычтем 18 из обеих частей уравнения:

$b = 24 - 18$

$b = 6$

Следовательно, длина меньшего основания трапеции составляет 6 см.

Ответ: 6 см.

22. Основания равнобедренной трапеции равны 12 см и 8 см, один из углов равен $135^\circ$. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, большее основание AD = 12 см, а меньшее основание BC = 8 см.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Тупой угол может находиться только при меньшем основании. Следовательно, углы при основании BC равны 135°, а углы при основании AD равны.

Найдем угол при большем основании, например, угол A ($\angle BAD$).

$\angle BAD + \angle ABC = 180°$

$\angle BAD = 180° - 135° = 45°$

Проведем из вершины B высоту BH на основание AD. Образуется прямоугольный треугольник ABH, где $\angle BHA = 90°$, а $\angle BAH = 45°$.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, найдем угол ABH:

$\angle ABH = 180° - 90° - 45° = 45°$

Поскольку два угла в треугольнике ABH равны ($\angle BAH = \angle ABH = 45°$), он является равнобедренным, и его катеты равны: $AH = BH$. То есть, искомая высота $BH$ равна отрезку $AH$.

Проведем вторую высоту CK из вершины C на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны: $AH = KD$. Четырехугольник HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 8$ см.

Длина большего основания AD складывается из длин отрезков: $AD = AH + HK + KD$.

Так как $AH = KD$, мы можем записать:

$AD = 2 \cdot AH + HK$

Подставим известные значения и найдем длину отрезка AH:

$12 = 2 \cdot AH + 8$

$2 \cdot AH = 12 - 8$

$2 \cdot AH = 4$

$AH = 2$ см.

Поскольку мы установили, что $BH = AH$, то высота трапеции равна 2 см.

Ответ: 2 см.