Страница 5 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Найдите острый угол параллелограмма, если его тупой угол равен $118^\circ$.

1. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Острый и тупой углы в параллелограмме всегда являются соседними, то есть прилежащими к одной стороне.
Пусть $\alpha$ — искомый острый угол, а $\beta$ — известный тупой угол, который по условию равен $118^\circ$.
Исходя из свойства углов параллелограмма, можно составить следующее равенство:
$\alpha + \beta = 180^\circ$
Подставим известное значение тупого угла в формулу:
$\alpha + 118^\circ = 180^\circ$
Теперь выразим и найдем значение острого угла $\alpha$:
$\alpha = 180^\circ - 118^\circ$
$\alpha = 62^\circ$
Найденный угол $62^\circ$ меньше $90^\circ$, следовательно, он является острым.
Ответ: $62^\circ$.

2. Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен $64^\circ$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Эти углы представляют собой один острый и один тупой угол.

Пусть острый угол параллелограмма равен $\alpha$, а тупой — $\beta$. По условию задачи, нам дан острый угол:
$\alpha = 64^\circ$

Сумма острого и тупого углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Чтобы найти величину тупого угла $\beta$, вычтем из $180^\circ$ известный острый угол:
$\beta = 180^\circ - \alpha$
$\beta = 180^\circ - 64^\circ$
$\beta = 116^\circ$

Ответ: $116^\circ$.

3. Один из внешних углов параллелограмма равен $62^\circ$. Найдите больший угол параллелограмма.

Сумма внешнего угла и смежного с ним внутреннего угла параллелограмма равна $180^\circ$. По условию задачи, один из внешних углов равен $62^\circ$. Следовательно, мы можем найти один из внутренних углов параллелограмма, который является смежным для данного внешнего угла:
$180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, также составляет $180^\circ$. Зная один угол ($118^\circ$), мы можем найти соседний с ним угол:
$180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.
Таким образом, у параллелограмма есть две пары равных углов: два угла по $118^\circ$ и два угла по $62^\circ$. Требуется найти больший угол. Сравнивая полученные значения, видим, что больший угол равен $118^\circ$.
Ответ: $118^\circ$.

4. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $40^\circ$. Найдите меньший угол параллелограмма.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два угла параллелограмма, прилежащие к одной стороне.

Одно из ключевых свойств параллелограмма заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Это следует из того, что такие углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых (противоположных сторонах параллелограмма) и секущей (стороне, к которой углы прилежат).

Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, разность этих же углов равна $40^\circ$. Предположим, что $\alpha$ — это больший угол, а $\beta$ — меньший. Тогда мы можем составить второе уравнение:

$\alpha - \beta = 40^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 40^\circ \end{cases}$

Для решения этой системы можно сложить оба уравнения. Это позволит нам исключить переменную $\beta$:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 40^\circ$

$2\alpha = 220^\circ$

Разделим обе части на 2, чтобы найти значение $\alpha$:

$\alpha = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Теперь, когда мы нашли больший угол, мы можем найти меньший, подставив значение $\alpha$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся первым уравнением:

$110^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Итак, мы нашли два угла, прилежащие к одной стороне: $110^\circ$ и $70^\circ$. Противоположные углы в параллелограмме равны, поэтому все четыре угла параллелограмма — это $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$ и $70^\circ$.

В задаче требуется найти меньший угол параллелограмма. Сравнивая два найденных значения, очевидно, что меньший угол равен $70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

5. Сумма двух углов параллелограмма равна $260^{\circ}$. Найдите один из оставшихся углов.

В параллелограмме есть два вида углов: равные противолежащие углы и смежные углы, сумма которых равна $180°$.

По условию, сумма двух углов равна $260°$. Поскольку сумма смежных углов равна $180°$, данные углы не могут быть смежными. Следовательно, это противолежащие углы, которые равны между собой.

Найдем величину этих углов. Пусть каждый из этих равных углов равен $ \alpha $:

$ \alpha + \alpha = 260° $

$ 2\alpha = 260° $

$ \alpha = 260° / 2 = 130° $

Таким образом, два угла параллелограмма равны по $130°$.

Оставшиеся два угла также являются противолежащими и равны между собой. Найдем один из них, обозначив его как $ \beta $. Углы $ \alpha $ и $ \beta $ являются смежными, поэтому их сумма равна $180°$.

$ \alpha + \beta = 180° $

$ 130° + \beta = 180° $

$ \beta = 180° - 130° $

$ \beta = 50° $

Следовательно, один из оставшихся углов равен $50°$.

Ответ: $50°$

6. Один угол параллелограмма больше другого на $70^\circ$. Найдите меньший угол параллелограмма.

6. В параллелограмме есть две пары равных углов: два острых и два тупых (если это не прямоугольник). Противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Поскольку по условию один угол больше другого, речь не может идти о противолежащих углах. Следовательно, это смежные углы.

Обозначим меньший угол параллелограмма как $x$.

Тогда больший угол, согласно условию задачи, будет равен $x + 70^\circ$.

Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, мы можем составить уравнение:

$x + (x + 70^\circ) = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение:

$2x + 70^\circ = 180^\circ$

Перенесем $70^\circ$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = 180^\circ - 70^\circ$

$2x = 110^\circ$

Найдем $x$:

$x = \frac{110^\circ}{2}$

$x = 55^\circ$

Мы нашли меньший угол параллелограмма. Больший угол будет равен $55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$. Углы параллелограмма: $55^\circ, 125^\circ, 55^\circ, 125^\circ$. В задаче требуется найти меньший угол.

Ответ: $55^\circ$.

7. Один угол параллелограмма меньше другого на $68^\circ$. Найдите больший угол параллелограмма.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Противоположные углы в параллелограмме равны. Так как по условию один угол меньше другого, то речь идет о соседних углах.

Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол будет равен $x + 68^\circ$.

Составим уравнение, используя свойство о сумме соседних углов параллелограмма:

$x + (x + 68^\circ) = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$2x + 68^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 68^\circ$

$2x = 112^\circ$

$x = \frac{112^\circ}{2}$

$x = 56^\circ$

Итак, меньший угол параллелограмма равен $56^\circ$.

По условию задачи нам нужно найти больший угол. Вычислим его:

$56^\circ + 68^\circ = 124^\circ$

Проверка: сумма соседних углов $56^\circ + 124^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $124^\circ$

8. Найдите меньший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3 : 7.

В параллелограмме есть два вида углов: равные противолежащие и соседние (прилежащие к одной стороне). Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$. Противолежащие углы равны, поэтому их отношение всегда $1:1$. Так как в условии дано отношение $3:7$, речь идет о соседних углах.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда один угол параллелограмма можно обозначить как $3x$, а соседний с ним угол — как $7x$.

Составим уравнение, используя свойство о сумме соседних углов параллелограмма:
$3x + 7x = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:
$10x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{10}$
$x = 18^\circ$

Теперь найдем меньший из углов. Его величина равна $3x$:
Меньший угол = $3 \times 18^\circ = 54^\circ$.

Для проверки можно найти и больший угол: $7x = 7 \times 18^\circ = 126^\circ$. Их сумма $54^\circ + 126^\circ = 180^\circ$, что соответствует свойству параллелограмма.

Ответ: $54^\circ$.

9. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $26^\circ$ и $34^\circ$. Найдите меньший угол параллелограмма.

Пусть в параллелограмме проведена диагональ, которая образует с двумя его смежными сторонами углы $26°$ и $34°$. Эти две стороны выходят из одной вершины, и угол параллелограмма при этой вершине является суммой двух данных углов.

Найдем величину этого угла параллелограмма:$26° + 34° = 60°$

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180°$. Поэтому второй угол параллелограмма равен разности $180°$ и найденного угла:$180° - 60° = 120°$

Таким образом, углы параллелограмма равны $60°$ и $120°$. Требуется найти меньший из них.Сравнивая $60°$ и $120°$, получаем, что меньший угол равен $60°$.

Ответ: 60°

10. Высота параллелограмма образует с его стороной угол $28^\circ$. Найдите больший угол параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем высоту $BH$ из вершины острого угла $B$ к стороне $AD$. Высота по определению перпендикулярна стороне, к которой она проведена, следовательно, треугольник $ABH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BHA = 90^{\circ}$.

По условию, высота $BH$ образует со стороной $AB$ угол $28^{\circ}$. Это значит, что $\angle ABH = 28^{\circ}$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для прямоугольного треугольника $ABH$ сумма острых углов равна $90^{\circ}$. Найдем острый угол параллелограмма $\angle A$ (он же $\angle BAH$):
$\angle A = \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH$
$\angle A = 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}$

В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^{\circ}$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются соседними, значит:
$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$

Найдем тупой (больший) угол параллелограмма $\angle B$:
$\angle B = 180^{\circ} - \angle A$
$\angle B = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ}$

Углы параллелограмма равны $62^{\circ}$ и $118^{\circ}$. Больший из них равен $118^{\circ}$.

Ответ: $118^{\circ}$

11. Диагональ прямоугольника образует с его стороной угол $58^\circ$.

Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник. Обозначим его $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что отрезки $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Поскольку $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным.

Согласно условию, диагональ образует со стороной угол $58^{\circ}$. Пусть это будет угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$. Тогда угол $\angle CAB = 58^{\circ}$. Этот угол является одним из углов при основании в равнобедренном треугольнике $AOB$, то есть $\angle OAB = 58^{\circ}$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OBA$ также равен $58^{\circ}$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle AOB$, который находится при вершине $O$ и является одним из углов между диагоналями:

$\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA)$

$\angle AOB = 180^{\circ} - (58^{\circ} + 58^{\circ})$

$\angle AOB = 180^{\circ} - 116^{\circ}$

$\angle AOB = 64^{\circ}$

При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $64^{\circ}$, а вторая, смежная с ней, равна $180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ}$. Углом между прямыми принято считать меньший из образовавшихся углов, если не указано иное.

Ответ: $64^{\circ}$

12. Угол между диагоналями прямоугольника равен $48^\circ$. Найдите меньший из углов, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник. Его диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов. По условию, один из этих углов равен $48^\circ$. Так как это значение меньше $90^\circ$, это острый угол. Смежный с ним угол будет тупым.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей делит прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника.

Рассмотрим один из этих равнобедренных треугольников. Углы при его основании равны. Вершинный угол этого треугольника — это один из углов между диагоналями. Диагональ образует со сторонами прямоугольника углы, которые являются углами при основании в этих равнобедренных треугольниках.

Рассмотрим треугольник, у которого вершинный угол является острым углом между диагоналями, то есть $48^\circ$. Углы при основании этого треугольника будут равны:
$(180^\circ - 48^\circ) / 2 = 132^\circ / 2 = 66^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник, у которого вершинный угол является тупым углом между диагоналями. Этот угол смежен с углом $48^\circ$, поэтому он равен:
$180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.
Углы при основании этого треугольника будут равны:
$(180^\circ - 132^\circ) / 2 = 48^\circ / 2 = 24^\circ$.

Таким образом, диагональ прямоугольника образует с его сторонами углы $24^\circ$ и $66^\circ$. В задаче требуется найти меньший из этих углов.
Сравнивая $24^\circ$ и $66^\circ$, получаем, что меньший угол равен $24^\circ$.

Ответ: $24^\circ$.

13. Острый угол параллелограмма равен $60^\circ$. Найдите угол между высотами этого параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию, его острый угол равен $60^\circ$. Пусть это будет $\angle A$. Таким образом, $\angle A = 60^\circ$. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, составляет $180^\circ$. Следовательно, тупые углы параллелограмма равны: $\angle B = \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Проведем высоты из вершины тупого угла, например, из вершины $B$. Пусть $BH_1$ — это высота, опущенная на прямую, содержащую сторону $AD$, а $BH_2$ — высота, опущенная на прямую, содержащую сторону $CD$. По определению высоты, $BH_1 \perp AD$ и $BH_2 \perp CD$. Угол, который нам нужно найти, — это $\angle H_1BH_2$.

Рассмотрим четырехугольник $BH_1DH_2$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. В этом четырехугольнике нам известны следующие углы:

1. $\angle BH_1D = 90^\circ$, так как $BH_1$ является высотой к стороне $AD$.

2. $\angle BH_2D = 90^\circ$, так как $BH_2$ является высотой к стороне $CD$.

3. $\angle H_1DH_2$ — это угол параллелограмма при вершине $D$. Мы ранее определили, что $\angle D = 120^\circ$.

Четвертый угол четырехугольника, $\angle H_1BH_2$, является искомым углом между высотами. Мы можем найти его, используя свойство о сумме углов четырехугольника:

$\angle H_1BH_2 + \angle BH_1D + \angle H_1DH_2 + \angle BH_2D = 360^\circ$

Подставим известные значения в это уравнение:

$\angle H_1BH_2 + 90^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle H_1BH_2 + 300^\circ = 360^\circ$

Отсюда находим искомый угол:

$\angle H_1BH_2 = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$

Таким образом, угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу этого параллелограмма.

Ответ: $60^\circ$.

14. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен $50^\circ$. Найдите острый угол параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть $∠B$ — тупой угол, из вершины которого проведены высоты $BE$ и $BF$ к сторонам (или их продолжениям) $AD$ и $CD$ соответственно. По условию, угол между этими высотами $∠EBF = 50°$. Требуется найти острый угол параллелограмма.

Рассмотрим угол $∠D$ ($∠ADC$) параллелограмма и угол между высотами $∠EBF$.

Стороны угла $∠D$ — это лучи $DA$ и $DC$.Стороны угла $∠EBF$ — это лучи $BE$ и $BF$.

По определению высоты, $BE$ перпендикулярна прямой $AD$ (а значит, и лучу $DA$), и $BF$ перпендикулярна прямой $CD$ (а значит, и лучу $DC$).Таким образом, стороны угла $∠EBF$ соответственно перпендикулярны сторонам угла $∠D$.

Существует теорема о том, что если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180°$.Следовательно, $∠D = ∠EBF$ или $∠D + ∠EBF = 180°$.

По условию, высоты проведены из вершины тупого угла $∠B$. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $∠D = ∠B$, а значит, $∠D$ также является тупым углом ($∠D > 90°$).

Так как $∠EBF = 50°$, равенство $∠D = ∠EBF$ невозможно, потому что $∠D$ — тупой.Значит, верно второе соотношение:$∠D + ∠EBF = 180°$

Подставим известное значение угла $∠EBF$:$∠D + 50° = 180°$$∠D = 180° - 50° = 130°$

Мы нашли тупой угол параллелограмма. Острый угол параллелограмма (например, $∠A$) и тупой угол ($∠D$) являются смежными, и их сумма в параллелограмме равна $180°$.$∠A + ∠D = 180°$$∠A = 180° - 130° = 50°$

Таким образом, острый угол параллелограмма равен $50°$.

Ответ: $50°$.

15. Один из углов ромба равен $50^\circ$. Найдите больший из углов, которые образуют диагонали этого ромба с его сторонами.

В ромбе, как и в любом параллелограмме, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. По условию, один из углов ромба равен $50°$. Этот угол является острым. Найдем величину соседнего, тупого угла:
$180° - 50° = 130°$.
Таким образом, углы ромба равны $50°, 130°, 50°$ и $130°$.

Диагонали ромба обладают важным свойством: они являются биссектрисами его углов. Это означает, что каждая диагональ делит соответствующий угол ромба на два равных угла.

Следовательно, диагонали образуют со сторонами ромба углы, равные половинам его внутренних углов.
Одна диагональ (которая соединяет вершины с острыми углами) делит углы в $50°$ пополам, образуя со сторонами углы:
$\frac{50°}{2} = 25°$.

Другая диагональ (которая соединяет вершины с тупыми углами) делит углы в $130°$ пополам, образуя со сторонами углы:
$\frac{130°}{2} = 65°$.

В результате мы получили два возможных значения для углов, которые образуют диагонали со сторонами ромба: $25°$ и $65°$.
В задаче требуется найти больший из этих углов. Сравнивая $25°$ и $65°$, очевидно, что больший угол — это $65°$.

Ответ: $65°$.

16. Угол между диагональю ромба и его стороной равен $61^{\circ}$. Найдите угол между этой диагональю и другой стороной ромба.

Пусть дан ромб ABCD. Проведем в нем диагональ AC. По условию задачи, угол между диагональю ромба и его стороной равен 61°. Пусть это будет угол между диагональю AC и стороной AD, то есть $∠CAD = 61°$.

Необходимо найти угол между этой же диагональю AC и другой стороной ромба. Рассмотрим два основных случая для "другой стороны".

Случай 1: "Другая сторона" — это смежная сторона, выходящая из той же вершины, то есть сторона AB.

Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ AC является биссектрисой угла $∠DAB$. Это означает, что она делит угол $∠DAB$ на два равных угла: $∠CAD$ и $∠CAB$.
Следовательно, $∠CAB = ∠CAD$.
Так как по условию $∠CAD = 61°$, то и $∠CAB = 61°$.

Случай 2: "Другая сторона" — это сторона, прилежащая к другому концу диагонали, например, сторона CD.

Рассмотрим треугольник $ΔACD$. В ромбе все стороны равны, поэтому $AD = CD$. Следовательно, треугольник $ΔACD$ является равнобедренным с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $∠ACD = ∠CAD$.
Так как по условию $∠CAD = 61°$, то и $∠ACD = 61°$.

Оба случая приводят к одному и тому же результату. Угол между указанной диагональю и любой другой стороной ромба, имеющей с ней общую вершину, равен 61°.

Ответ: $61°$