Номер 12, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Угол между диагоналями прямоугольника равен $48^\circ$. Найдите меньший из углов, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник. Его диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов. По условию, один из этих углов равен $48^\circ$. Так как это значение меньше $90^\circ$, это острый угол. Смежный с ним угол будет тупым.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей делит прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника.

Рассмотрим один из этих равнобедренных треугольников. Углы при его основании равны. Вершинный угол этого треугольника — это один из углов между диагоналями. Диагональ образует со сторонами прямоугольника углы, которые являются углами при основании в этих равнобедренных треугольниках.

Рассмотрим треугольник, у которого вершинный угол является острым углом между диагоналями, то есть $48^\circ$. Углы при основании этого треугольника будут равны:
$(180^\circ - 48^\circ) / 2 = 132^\circ / 2 = 66^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник, у которого вершинный угол является тупым углом между диагоналями. Этот угол смежен с углом $48^\circ$, поэтому он равен:
$180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.
Углы при основании этого треугольника будут равны:
$(180^\circ - 132^\circ) / 2 = 48^\circ / 2 = 24^\circ$.

Таким образом, диагональ прямоугольника образует с его сторонами углы $24^\circ$ и $66^\circ$. В задаче требуется найти меньший из этих углов.
Сравнивая $24^\circ$ и $66^\circ$, получаем, что меньший угол равен $24^\circ$.

Ответ: $24^\circ$.