Номер 13, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Острый угол параллелограмма равен $60^\circ$. Найдите угол между высотами этого параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию, его острый угол равен $60^\circ$. Пусть это будет $\angle A$. Таким образом, $\angle A = 60^\circ$. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, составляет $180^\circ$. Следовательно, тупые углы параллелограмма равны: $\angle B = \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Проведем высоты из вершины тупого угла, например, из вершины $B$. Пусть $BH_1$ — это высота, опущенная на прямую, содержащую сторону $AD$, а $BH_2$ — высота, опущенная на прямую, содержащую сторону $CD$. По определению высоты, $BH_1 \perp AD$ и $BH_2 \perp CD$. Угол, который нам нужно найти, — это $\angle H_1BH_2$.

Рассмотрим четырехугольник $BH_1DH_2$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. В этом четырехугольнике нам известны следующие углы:

1. $\angle BH_1D = 90^\circ$, так как $BH_1$ является высотой к стороне $AD$.

2. $\angle BH_2D = 90^\circ$, так как $BH_2$ является высотой к стороне $CD$.

3. $\angle H_1DH_2$ — это угол параллелограмма при вершине $D$. Мы ранее определили, что $\angle D = 120^\circ$.

Четвертый угол четырехугольника, $\angle H_1BH_2$, является искомым углом между высотами. Мы можем найти его, используя свойство о сумме углов четырехугольника:

$\angle H_1BH_2 + \angle BH_1D + \angle H_1DH_2 + \angle BH_2D = 360^\circ$

Подставим известные значения в это уравнение:

$\angle H_1BH_2 + 90^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle H_1BH_2 + 300^\circ = 360^\circ$

Отсюда находим искомый угол:

$\angle H_1BH_2 = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$

Таким образом, угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу этого параллелограмма.

Ответ: $60^\circ$.