Номер 14, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен $50^\circ$. Найдите острый угол параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть $∠B$ — тупой угол, из вершины которого проведены высоты $BE$ и $BF$ к сторонам (или их продолжениям) $AD$ и $CD$ соответственно. По условию, угол между этими высотами $∠EBF = 50°$. Требуется найти острый угол параллелограмма.

Рассмотрим угол $∠D$ ($∠ADC$) параллелограмма и угол между высотами $∠EBF$.

Стороны угла $∠D$ — это лучи $DA$ и $DC$.Стороны угла $∠EBF$ — это лучи $BE$ и $BF$.

По определению высоты, $BE$ перпендикулярна прямой $AD$ (а значит, и лучу $DA$), и $BF$ перпендикулярна прямой $CD$ (а значит, и лучу $DC$).Таким образом, стороны угла $∠EBF$ соответственно перпендикулярны сторонам угла $∠D$.

Существует теорема о том, что если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180°$.Следовательно, $∠D = ∠EBF$ или $∠D + ∠EBF = 180°$.

По условию, высоты проведены из вершины тупого угла $∠B$. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $∠D = ∠B$, а значит, $∠D$ также является тупым углом ($∠D > 90°$).

Так как $∠EBF = 50°$, равенство $∠D = ∠EBF$ невозможно, потому что $∠D$ — тупой.Значит, верно второе соотношение:$∠D + ∠EBF = 180°$

Подставим известное значение угла $∠EBF$:$∠D + 50° = 180°$$∠D = 180° - 50° = 130°$

Мы нашли тупой угол параллелограмма. Острый угол параллелограмма (например, $∠A$) и тупой угол ($∠D$) являются смежными, и их сумма в параллелограмме равна $180°$.$∠A + ∠D = 180°$$∠A = 180° - 130° = 50°$

Таким образом, острый угол параллелограмма равен $50°$.

Ответ: $50°$.