Номер 19, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $220^\circ$. Найдите меньший угол трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим два равных угла при одном основании как $ \alpha $, а два равных угла при другом основании как $ \beta $. Также в любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Таким образом, $ \alpha + \beta = 180° $. Это означает, что в трапеции (если она не является прямоугольником) всегда есть два острых угла и два тупых.

По условию задачи, сумма двух углов равна 220°. Так как $ 220° \neq 180° $, это не могут быть углы, прилежащие к одной боковой стороне. Следовательно, это сумма двух равных между собой углов.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Сумма двух острых углов равна 220°. Пусть острый угол равен $ \alpha $. Тогда $ \alpha + \alpha = 220° $, откуда $ 2\alpha = 220° $ и $ \alpha = 110° $. Это противоречит тому, что угол $ \alpha $ острый (то есть $ \alpha < 90° $). Значит, этот вариант невозможен.

2. Сумма двух тупых углов равна 220°. Пусть тупой угол равен $ \beta $. Тогда $ \beta + \beta = 220° $, откуда $ 2\beta = 220° $ и $ \beta = 110° $. Это значение является допустимым для тупого угла ($ 90° < 110° < 180° $). Таким образом, больший угол трапеции равен 110°.

Теперь, зная больший угол, мы можем найти меньший угол $ \alpha $, используя свойство суммы углов при боковой стороне:

$ \alpha + \beta = 180° $

$ \alpha + 110° = 180° $

$ \alpha = 180° - 110° = 70° $

Итак, меньший угол трапеции равен 70°.

Ответ: 70