Номер 22, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Сумма двух углов прямоугольной трапеции равна 200°. Найдите меньший угол трапеции.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Это означает, что два угла при этой боковой стороне являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Пусть углы трапеции равны $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Пусть $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Углы, прилежащие к другой боковой стороне (в нашем случае $\angle C$ и $\angle D$), в сумме дают $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях и секущей. То есть, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

По условию задачи, сумма двух каких-то углов трапеции равна $200^\circ$. Рассмотрим все возможные пары углов:

1. Сумма двух прямых углов: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это не соответствует условию ($180^\circ \neq 200^\circ$).

2. Сумма двух углов, прилежащих к боковой стороне CD: $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Это также не соответствует условию.

3. Следовательно, искомая сумма в $200^\circ$ состоит из одного прямого угла и одного из двух оставшихся углов (одного тупого и одного острого). Сумма прямого и острого угла будет меньше $180^\circ$ ($90^\circ + \text{острый угол} < 180^\circ$), значит, речь идет о сумме прямого и тупого угла.

Пусть один из углов равен $90^\circ$, а другой, тупой, равен $\alpha$.

$90^\circ + \alpha = 200^\circ$

Находим величину тупого угла:

$\alpha = 200^\circ - 90^\circ = 110^\circ$

Теперь найдем четвертый угол трапеции, который будет острым. Этот острый угол и найденный тупой угол в сумме дают $180^\circ$. Обозначим острый угол как $\beta$.

$\alpha + \beta = 180^\circ$

$110^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Итак, мы нашли все четыре угла трапеции: $90^\circ, 90^\circ, 110^\circ, 70^\circ$.

Наименьший из этих углов — $70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.