Номер 17, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противоположащих углов равна $50^\circ$.

Пусть дана равнобедренная трапеция. Обозначим ее углы как $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha$ – острый угол при большем основании, а $\beta$ – тупой угол при меньшем основании. В равнобедренной трапеции два острых угла, равных $\alpha$, и два тупых угла, равных $\beta$.

Ключевое свойство любой трапеции заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Противолежащие углы в равнобедренной трапеции — это острый и тупой углы. По условию задачи, их разность равна $50^\circ$. Так как $\beta$ – тупой угол, а $\alpha$ – острый, то $\beta > \alpha$. Запишем второе уравнение:

$\beta - \alpha = 50^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta - \alpha = 50^\circ\end{cases}$

Можно решить эту систему, например, методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 50^\circ$

$2\beta = 230^\circ$

$\beta = \frac{230^\circ}{2} = 115^\circ$

Мы нашли величину большего угла. Теперь найдем величину меньшего угла $\alpha$, подставив значение $\beta$ в первое уравнение:

$\alpha + 115^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 115^\circ$

$\alpha = 65^\circ$

Итак, углы трапеции равны $65^\circ$ и $115^\circ$. Меньший из них равен $65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$