Номер 11, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Диагональ прямоугольника образует с его стороной угол $58^\circ$.

Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник. Обозначим его $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что отрезки $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Поскольку $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным.

Согласно условию, диагональ образует со стороной угол $58^{\circ}$. Пусть это будет угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$. Тогда угол $\angle CAB = 58^{\circ}$. Этот угол является одним из углов при основании в равнобедренном треугольнике $AOB$, то есть $\angle OAB = 58^{\circ}$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OBA$ также равен $58^{\circ}$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle AOB$, который находится при вершине $O$ и является одним из углов между диагоналями:

$\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA)$

$\angle AOB = 180^{\circ} - (58^{\circ} + 58^{\circ})$

$\angle AOB = 180^{\circ} - 116^{\circ}$

$\angle AOB = 64^{\circ}$

При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $64^{\circ}$, а вторая, смежная с ней, равна $180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ}$. Углом между прямыми принято считать меньший из образовавшихся углов, если не указано иное.

Ответ: $64^{\circ}$