Номер 4, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $40^\circ$. Найдите меньший угол параллелограмма.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два угла параллелограмма, прилежащие к одной стороне.

Одно из ключевых свойств параллелограмма заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Это следует из того, что такие углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых (противоположных сторонах параллелограмма) и секущей (стороне, к которой углы прилежат).

Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, разность этих же углов равна $40^\circ$. Предположим, что $\alpha$ — это больший угол, а $\beta$ — меньший. Тогда мы можем составить второе уравнение:

$\alpha - \beta = 40^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 40^\circ \end{cases}$

Для решения этой системы можно сложить оба уравнения. Это позволит нам исключить переменную $\beta$:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 40^\circ$

$2\alpha = 220^\circ$

Разделим обе части на 2, чтобы найти значение $\alpha$:

$\alpha = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Теперь, когда мы нашли больший угол, мы можем найти меньший, подставив значение $\alpha$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся первым уравнением:

$110^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Итак, мы нашли два угла, прилежащие к одной стороне: $110^\circ$ и $70^\circ$. Противоположные углы в параллелограмме равны, поэтому все четыре угла параллелограмма — это $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$ и $70^\circ$.

В задаче требуется найти меньший угол параллелограмма. Сравнивая два найденных значения, очевидно, что меньший угол равен $70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.