Страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В равнобедренной трапеции большее основание равно 25 см, боковая сторона равна 10 см, угол между ними — $60^\circ$. Найдите меньшее основание.

Пусть дана равнобедренная трапеция, которую мы обозначим как ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее основание, а AB и CD — боковые стороны.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

- Длина большего основания: $AD = 25$ см.
- Длина боковой стороны: $AB = CD = 10$ см.
- Угол между большим основанием и боковой стороной: $\angle DAB = \angle CDA = 60^\circ$.

Для нахождения длины меньшего основания BC, проведем из вершин B и C высоты BE и CF на большее основание AD. Таким образом, мы разделим трапецию на центральный прямоугольник BCFE и два прямоугольных треугольника по бокам: $\triangle ABE$ и $\triangle DCF$.

Так как трапеция равнобедренная, то треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCF$ равны между собой. Это означает, что отрезки, отсекаемые высотами на большем основании, также равны: $AE = FD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE ($\angle AEB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AB = 10$ см и прилежащий к катету AE угол $\angle BAE = 60^\circ$.

Катет AE можно найти через косинус прилежащего угла:

$AE = AB \cdot \cos(\angle BAE)$

Подставим известные значения. Учитывая, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получим:

$AE = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Поскольку $AE = FD$, то $FD = 5$ см.

Большее основание AD состоит из суммы трех отрезков: $AD = AE + EF + FD$. Четырехугольник BCFE является прямоугольником, поэтому его противоположные стороны равны, то есть $EF = BC$.

Теперь мы можем записать уравнение для нахождения BC:

$AD = AE + BC + FD$

$25 = 5 + BC + 5$

$25 = 10 + BC$

$BC = 25 - 10$

$BC = 15$ см.

Ответ: 15 см.

24. Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите большее основание трапеции.

Пусть меньшее основание трапеции равно $a$ см, а большее основание равно $b$ см. Средняя линия трапеции обозначается как $m$.

Согласно условию задачи:

Средняя линия $m = 7$ см.

Одно из оснований больше другого на 4 см. Так как $b$ — большее основание, то $b = a + 4$.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, что выражается формулой:

$m = \frac{a + b}{2}$

Подставим в формулу известное значение средней линии $m=7$:

$7 = \frac{a + b}{2}$

Из этого уравнения найдем сумму оснований:

$a + b = 7 \cdot 2 = 14$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

1) $a + b = 14$

2) $b = a + 4$

Подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое, чтобы найти меньшее основание $a$:

$a + (a + 4) = 14$

$2a + 4 = 14$

$2a = 14 - 4$

$2a = 10$

$a = 5$ см.

Теперь, зная меньшее основание, найдем большее основание $b$:

$b = a + 4 = 5 + 4 = 9$ см.

Требовалось найти большее основание трапеции.

Ответ: 9 см.

25. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 см и 4 см. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. $AB = CD$.

Из вершины тупого угла $B$ опустим перпендикуляр (высоту) $BH$ на большее основание $AD$. Согласно условию, точка $H$ делит основание $AD$ на два отрезка. Обозначим их длины как $l_1 = 10$ см и $l_2 = 4$ см. Таким образом, длина большего основания $AD$ равна сумме длин этих отрезков: $AD = 10 + 4 = 14$ см.

Теперь необходимо определить, какой из отрезков, $AH$ или $HD$, имеет какую длину. Для этого воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. Опустим еще одну высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$.

В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. То есть, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету, т.к. $AB=CD$ и $BH=CK$). Следовательно, $AH = KD$.

Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ (значит, $BC \parallel HK$), а $BH$ и $CK$ — перпендикуляры к $AD$. Отсюда следует, что $BC = HK$.

Длину большего основания $AD$ можно представить как сумму отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Заменив $HK$ на $BC$ и $KD$ на $AH$, получим: $AD = AH + BC + AH = 2 \cdot AH + BC$.

Также мы знаем, что точка $H$ делит $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$, то есть $AD = AH + HD$.

Приравняем два выражения для $AD$:
$2 \cdot AH + BC = AH + HD$
Отсюда выразим длину меньшего основания $BC$:
$BC = (AH + HD) - 2 \cdot AH = HD - AH$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. $AH = 10$ см, а $HD = 4$ см. В этом случае длина меньшего основания $BC$ будет равна $BC = 4 - 10 = -6$ см. Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому этот случай невозможен.

2. $AH = 4$ см, а $HD = 10$ см. В этом случае длина меньшего основания $BC$ будет равна $BC = 10 - 4 = 6$ см. Это значение является допустимым.

Итак, мы нашли длины оснований трапеции: большее основание $AD = 14$ см, меньшее основание $BC = 6$ см.

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле как полусумма ее оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Подставим найденные значения:

$m = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

26. Основания трапеции равны 3 см и 2 см. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — её основания. По условию задачи, длины оснований равны $AD = 3$ см и $BC = 2$ см. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Необходимо найти длину отрезка $MN$.

Для решения задачи можно использовать свойство средней линии треугольника или общую формулу для длины отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

Способ 1: Использование средней линии треугольника.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Возьмём точку $K$ — середину боковой стороны $AB$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$ треугольника $ABD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, она параллельна основанию $AD$ и равна его половине:

$KN = \frac{AD}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна основанию $BC$ и равна его половине:

$KM = \frac{BC}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

3. Основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), поэтому и средние линии $KN$ и $KM$ параллельны им, а значит, лежат на одной прямой (средней линии трапеции). Длина искомого отрезка $MN$ будет равна разности длин отрезков $KN$ и $KM$:

$MN = KN - KM = 1,5 - 1 = 0,5$ см.

Способ 2: Использование формулы.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности длин её оснований. Если $a$ и $b$ — длины оснований трапеции ($a > b$), то длина отрезка $m$ вычисляется по формуле:

$m = \frac{a - b}{2}$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$m = \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 0,5 см.

27. Основания трапеции относятся как 2 : 3, а средняя линия равна 5.

Найдите меньшее основание.

Пусть меньшее основание трапеции равно a, а большее – b. Согласно условию, их длины относятся как 2 к 3. Введем коэффициент пропорциональности x. Тогда длины оснований можно выразить следующим образом:
a = 2x
b = 3x

Средняя линия трапеции (m) равна полусумме ее оснований. Формула для вычисления средней линии:
$m = (a + b) / 2$

По условию задачи, средняя линия m = 5. Подставим выражения для оснований и значение средней линии в формулу:
$5 = (2x + 3x) / 2$

Теперь решим полученное уравнение относительно x:
$5 = 5x / 2$
Умножим обе части уравнения на 2:
$10 = 5x$
Найдем x:
$x = 10 / 5 = 2$

Мы нашли коэффициент пропорциональности. Теперь можем найти длину меньшего основания, которая равна a = 2x:
$a = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4

28. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 4 см. Боковые стороны равны 5 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны.По условию задачи известны следующие размеры:

• большее основание $a = AD = 10$ см;
• меньшее основание $b = BC = 4$ см;
• боковые стороны $c = AB = CD = 5$ см.

Для нахождения высоты трапеции $h$ проведем из вершин B и C высоты BH и CK на большее основание AD. В результате на большем основании образуются три отрезка: AH, HK и KD.

Так как BC параллельно AD, а BH и CK являются перпендикулярами к AD, то четырехугольник HBCK является прямоугольником. Следовательно, длина отрезка HK равна длине меньшего основания BC:$HK = BC = 4$ см.

В равнобедренной трапеции треугольники ABH и DCK, образованные высотами и боковыми сторонами, равны. Это означает, что отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, также равны: $AH = KD$.

Длину этих отрезков можно найти, вычтя из длины большего основания длину меньшего и разделив результат на 2:$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике:

• гипотенуза AB равна боковой стороне трапеции, $AB = 5$ см;
• катет AH равен 3 см, как мы нашли ранее;
• катет BH является высотой трапеции $h$.

Применим теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$):$AH^2 + BH^2 = AB^2$Подставим известные значения:$3^2 + h^2 = 5^2$$9 + h^2 = 25$$h^2 = 25 - 9$$h^2 = 16$$h = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

...высoты трапеции.

29. Основания прямоугольной трапеции равны 12 см и 6 см. Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна 8 см. Найдите вторую боковую сторону трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция. Обозначим ее вершины как A, B, C, D. Пусть AD и BC — это основания, причем AD является большим основанием, а BC — меньшим. Пусть боковая сторона AB перпендикулярна основаниям.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Длина большего основания AD = 12 см.
Длина меньшего основания BC = 6 см.
Длина боковой стороны, перпендикулярной основаниям, AB = 8 см. Эта сторона также является высотой трапеции h.
Требуется найти длину второй, наклонной, боковой стороны CD.

Для нахождения длины стороны CD, проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Так как AB также перпендикулярна AD, то четырехугольник ABCH является прямоугольником. В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно:

CH = AB = 8 см
AH = BC = 6 см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Угол ∠CHD является прямым, так как CH — это высота. Катет CH равен высоте трапеции, то есть 8 см. Длину второго катета HD можно найти, вычтя из длины большего основания AD длину отрезка AH:

$HD = AD - AH = 12 \text{ см} - 6 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Теперь, когда мы знаем длины обоих катетов треугольника CHD (CH = 8 см и HD = 6 см), мы можем найти длину гипотенузы CD с помощью теоремы Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

Подставим известные значения в формулу:

$CD^2 = 8^2 + 6^2$
$CD^2 = 64 + 36$
$CD^2 = 100$

Чтобы найти длину CD, извлечем квадратный корень из 100:

$CD = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.

30. Средняя линия трапеции равна 12 см. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2 см. Найдите большее основание трапеции.

Пусть диагональ трапеции делит ее среднюю линию на два отрезка. Обозначим длины этих отрезков как $x$ и $y$.

По условию, длина всей средней линии равна 12 см, значит, сумма длин этих отрезков равна 12 см: $x + y = 12$.

Также по условию, разность длин этих отрезков равна 2 см. Предположим, что $x$ — это длина большего отрезка, тогда получаем уравнение: $x - y = 2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$x + y = 12$
$x - y = 2$

Сложив эти два уравнения, получим: $(x+y) + (x-y) = 12 + 2$, что упрощается до $2x = 14$. Отсюда находим длину большего отрезка: $x = 7$ см. Длина меньшего отрезка, соответственно, будет $y = 12 - x = 12 - 7 = 5$ см.

Отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию трапеции, являются средними линиями для двух треугольников, на которые эта диагональ делит трапецию. Длина каждого такого отрезка равна половине соответствующего основания трапеции.

Следовательно, больший отрезок ($x=7$ см) равен половине большего основания ($a$), а меньший отрезок ($y=5$ см) — половине меньшего основания ($b$).
$\frac{a}{2} = x = 7$
$\frac{b}{2} = y = 5$

Задача просит найти большее основание трапеции. Найдем его из соответствующего соотношения:
$a = 2 \cdot x = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 6$.

Найдите $AB$.

1. По условию задачи, в треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, что означает, что треугольник является прямоугольным. Сторона $AC$ и $BC$ являются катетами, а сторона $AB$ — гипотенузой.

Нам даны:

• Прямоугольный треугольник $ABC$
• $\angle C = 90^\circ$
• $\angle A = 30^\circ$
• Катет $AC = 6$

Требуется найти длину гипотенузы $AB$.

Для решения задачи воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

Для угла $A$ имеем:
$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$

Из этой формулы мы можем выразить гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)}$

Подставим известные нам значения: $AC = 6$ и $\angle A = 30^\circ$.
$AB = \frac{6}{\cos(30^\circ)}$

Значение косинуса $30^\circ$ является стандартным тригонометрическим значением: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим это значение в нашу формулу для $AB$:
$AB = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, мы умножаем на перевернутую дробь:
$AB = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$AB = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3}$

Сократим дробь:
$AB = 4\sqrt{3}$

Ответ: $4\sqrt{3}$

2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90$, угол $A$ равен $45^\circ$, $AC = 2$.

Найдите $AB$.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, следовательно, этот треугольник является прямоугольным. Стороны $AC$ и $BC$ — катеты, а $AB$ — гипотенуза.

Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Мы можем найти величину угла $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A$
$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Поскольку углы при основании $AB$ равны ($\angle A = \angle B = 45^\circ$), треугольник $ABC$ является не только прямоугольным, но и равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Это означает, что катет $BC$ равен катету $AC$.
$BC = AC = 2$.

Теперь, зная длины обоих катетов, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ с помощью теоремы Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
$AB^2 = 2^2 + 2^2$
$AB^2 = 4 + 4$
$AB^2 = 8$
$AB = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Альтернативный способ решения:
Можно использовать тригонометрические функции. Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$:
$\cos(A) = \frac{AC}{AB}$
Отсюда можно выразить гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos(A)}$
Подставляем известные значения $AC = 2$ и $\angle A = 45^\circ$:
$AB = \frac{2}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $2\sqrt{2}$

3. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $60^\circ$, $AC = 2$.
Найдите $BC$.

По условию задачи мы имеем прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Также известны $\angle A = 60^\circ$ и длина катета $AC = 2$. Требуется найти длину катета $BC$.

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Для угла $A$ в треугольнике $ABC$:

• Катет $BC$ является противолежащим углу $A$.
• Катет $AC$ является прилежащим к углу $A$.

Следовательно, мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса:

$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$\tan(60^\circ) = \frac{BC}{2}$

Чтобы найти $BC$, выразим его из этого уравнения, умножив обе части на 2:

$BC = 2 \cdot \tan(60^\circ)$

Значение тангенса угла $60^\circ$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.

$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$

Подставим это значение в нашу формулу для $BC$:

$BC = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

4. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ – высота, угол $A$ равен $30^\circ$, $AB = 4$. Найдите $AH$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 4$ и $\angle A = 30^\circ$. $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Необходимо найти длину отрезка $AH$.

Шаг 1: Найдем длину катета AC в треугольнике ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Катет $AC$ является прилежащим к углу $A$. Связь между прилежащим катетом, гипотенузой и косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике выражается формулой:

$\cos(A) = \frac{AC}{AB}$

Выразим отсюда катет $AC$:

$AC = AB \cdot \cos(A)$

Подставим известные значения: $AB = 4$ и $\angle A = 30^\circ$. Значение косинуса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AC = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Шаг 2: Найдем длину отрезка AH в треугольнике ACH.

Рассмотрим треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, то она перпендикулярна стороне $AB$. Следовательно, $\angle CHA = 90^\circ$, и треугольник $ACH$ является прямоугольным.

В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом, прилежащим к углу $A$. Снова воспользуемся определением косинуса:

$\cos(A) = \frac{AH}{AC}$

Выразим отсюда искомый отрезок $AH$:

$AH = AC \cdot \cos(A)$

Подставим значения, которые мы уже знаем: $AC = 2\sqrt{3}$ и $\angle A = 30^\circ$.

$AH = 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Упростим выражение:

$AH = \frac{2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$

Ответ: 3

5. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $45^\circ$, $CH$ – высота, $AB=4$. Найдите $CH$.

5. Дано: треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90°$, $\angle A = 45°$, гипотенуза $AB = 4$. $CH$ — высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$.

Сначала найдем величину угла $B$. Сумма углов в треугольнике составляет $180°$, поэтому:$\angle B = 180° - \angle C - \angle A = 180° - 90° - 45° = 45°$.

Поскольку $\angle A = \angle B = 45°$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, а его основанием является гипотенуза $AB$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, высота $CH$ также является медианой, проведенной к стороне $AB$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины этой гипотенузы.

Применяя это свойство, находим длину $CH$:$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: 2

6. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $60^\circ$, $CH$ — высота, $AB = 1$. Найдите $CH$.

6. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известны гипотенуза $AB=1$ и два угла: $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 60^\circ$. Найдем третий угол, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

Для нахождения высоты $CH$ можно использовать несколько способов.

Способ 1: Через площадь треугольника.
Сначала найдем длины катетов $AC$ и $BC$ через синус и косинус угла $A$:
$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$
С другой стороны, площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Возьмем гипотенузу $AB$ за основание, тогда высота — это $CH$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$
Приравнивая два выражения для площади, получим:
$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{\sqrt{3}}{8}$
$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot CH = \frac{\sqrt{3}}{8}$
$CH = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Способ 2: Через прямоугольный треугольник $ACH$.
Сначала найдем катет $AC$ в треугольнике $ABC$:
$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
Теперь рассмотрим треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, то $\angle CHA = 90^\circ$. Значит, треугольник $ACH$ — прямоугольный. В нем $AC$ является гипотенузой, а $CH$ — катетом, противолежащим углу $\angle A$.
Из определения синуса:
$\sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$
Отсюда выражаем $CH$:
$CH = AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $CH = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

7. В треугольнике $ABC$ $AC = BC$, угол $C$ равен $120^\circ$, $AC = 1$. Найдите $AB$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AC = BC = 1$, а угол $\angle C = 120^\circ$. Так как две стороны треугольника равны, он является равнобедренным с основанием $AB$.

Для нахождения длины стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус угла между ними. Формула теоремы косинусов для стороны $AB$ выглядит следующим образом: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим известные значения в формулу: $AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$ $AB^2 = 1 + 1 - 2 \cos(120^\circ)$ $AB^2 = 2 - 2 \cos(120^\circ)$

Найдем значение $\cos(120^\circ)$. Используя формулу приведения, получаем: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение обратно в наше уравнение для $AB^2$: $AB^2 = 2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ $AB^2 = 2 + 1$ $AB^2 = 3$

Чтобы найти длину стороны $AB$, извлечем квадратный корень из полученного значения. Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем только положительное значение корня: $AB = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

8. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 2$, угол $C$ равен $150^\circ$. Найдите высоту $AH$.

В треугольнике $ABC$ по условию даны стороны $AC = BC = 2$ и угол $\angle C = 150^\circ$. Необходимо найти высоту $AH$.

Поскольку угол $C$ является тупым ($150^\circ > 90^\circ$), высота $AH$, опущенная из вершины $A$, упадет на продолжение стороны $BC$ за точку $C$. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $AHC$, в котором $\angle AHC = 90^\circ$.

Угол $\angle ACH$ и угол $\angle BCA$ (данный угол $C$) являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle ACH$:$\angle ACH = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

В получившемся прямоугольном треугольнике $AHC$ гипотенуза $AC$ равна 2, а искомая высота $AH$ является катетом, который лежит напротив угла $\angle ACH = 30^\circ$.

Для нахождения длины катета $AH$ можно воспользоваться определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$.

Подставим известные значения в формулу и решим уравнение:$\sin(30^\circ) = \frac{AH}{2}$
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{AH}{2}$
Отсюда следует, что $AH = 1$.
Ответ: 1

9. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos A = 0,8$, $AC = 4$. Найдите $AB$.

В данной задаче рассматривается прямоугольный треугольник $ABC$, так как угол $C$ равен $90^\circ$. В прямоугольном треугольнике стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами ($AC$ и $BC$), а сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой ($AB$).

По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

Для угла $A$ прилежащим катетом является $AC$, а гипотенузой — $AB$. Таким образом, мы можем записать формулу:$ \cos A = \frac{AC}{AB} $

Нам известны значения $ \cos A = 0.8 $ и $ AC = 4 $. Подставим эти значения в формулу:$ 0.8 = \frac{4}{AB} $

Теперь нам нужно найти $AB$. Для этого выразим $AB$ из полученного уравнения:$ AB = \frac{4}{0.8} $

Чтобы выполнить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:$ AB = \frac{4 \cdot 10}{0.8 \cdot 10} = \frac{40}{8} $

$ AB = 5 $

Ответ: 5