Номер 28, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 4 см. Боковые стороны равны 5 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны.По условию задачи известны следующие размеры:

• большее основание $a = AD = 10$ см;
• меньшее основание $b = BC = 4$ см;
• боковые стороны $c = AB = CD = 5$ см.

Для нахождения высоты трапеции $h$ проведем из вершин B и C высоты BH и CK на большее основание AD. В результате на большем основании образуются три отрезка: AH, HK и KD.

Так как BC параллельно AD, а BH и CK являются перпендикулярами к AD, то четырехугольник HBCK является прямоугольником. Следовательно, длина отрезка HK равна длине меньшего основания BC:$HK = BC = 4$ см.

В равнобедренной трапеции треугольники ABH и DCK, образованные высотами и боковыми сторонами, равны. Это означает, что отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, также равны: $AH = KD$.

Длину этих отрезков можно найти, вычтя из длины большего основания длину меньшего и разделив результат на 2:$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике:

• гипотенуза AB равна боковой стороне трапеции, $AB = 5$ см;
• катет AH равен 3 см, как мы нашли ранее;
• катет BH является высотой трапеции $h$.

Применим теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$):$AH^2 + BH^2 = AB^2$Подставим известные значения:$3^2 + h^2 = 5^2$$9 + h^2 = 25$$h^2 = 25 - 9$$h^2 = 16$$h = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.