Номер 4, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ – высота, угол $A$ равен $30^\circ$, $AB = 4$. Найдите $AH$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 4$ и $\angle A = 30^\circ$. $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Необходимо найти длину отрезка $AH$.

Шаг 1: Найдем длину катета AC в треугольнике ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Катет $AC$ является прилежащим к углу $A$. Связь между прилежащим катетом, гипотенузой и косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике выражается формулой:

$\cos(A) = \frac{AC}{AB}$

Выразим отсюда катет $AC$:

$AC = AB \cdot \cos(A)$

Подставим известные значения: $AB = 4$ и $\angle A = 30^\circ$. Значение косинуса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AC = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Шаг 2: Найдем длину отрезка AH в треугольнике ACH.

Рассмотрим треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, то она перпендикулярна стороне $AB$. Следовательно, $\angle CHA = 90^\circ$, и треугольник $ACH$ является прямоугольным.

В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом, прилежащим к углу $A$. Снова воспользуемся определением косинуса:

$\cos(A) = \frac{AH}{AC}$

Выразим отсюда искомый отрезок $AH$:

$AH = AC \cdot \cos(A)$

Подставим значения, которые мы уже знаем: $AC = 2\sqrt{3}$ и $\angle A = 30^\circ$.

$AH = 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Упростим выражение:

$AH = \frac{2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$

Ответ: 3