Номер 6, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $60^\circ$, $CH$ — высота, $AB = 1$. Найдите $CH$.

6. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известны гипотенуза $AB=1$ и два угла: $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 60^\circ$. Найдем третий угол, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

Для нахождения высоты $CH$ можно использовать несколько способов.

Способ 1: Через площадь треугольника.
Сначала найдем длины катетов $AC$ и $BC$ через синус и косинус угла $A$:
$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$
С другой стороны, площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Возьмем гипотенузу $AB$ за основание, тогда высота — это $CH$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$
Приравнивая два выражения для площади, получим:
$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{\sqrt{3}}{8}$
$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot CH = \frac{\sqrt{3}}{8}$
$CH = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Способ 2: Через прямоугольный треугольник $ACH$.
Сначала найдем катет $AC$ в треугольнике $ABC$:
$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
Теперь рассмотрим треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, то $\angle CHA = 90^\circ$. Значит, треугольник $ACH$ — прямоугольный. В нем $AC$ является гипотенузой, а $CH$ — катетом, противолежащим углу $\angle A$.
Из определения синуса:
$\sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$
Отсюда выражаем $CH$:
$CH = AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $CH = \frac{\sqrt{3}}{4}$.