Номер 2, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90$, угол $A$ равен $45^\circ$, $AC = 2$.

Найдите $AB$.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, следовательно, этот треугольник является прямоугольным. Стороны $AC$ и $BC$ — катеты, а $AB$ — гипотенуза.

Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Мы можем найти величину угла $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A$
$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Поскольку углы при основании $AB$ равны ($\angle A = \angle B = 45^\circ$), треугольник $ABC$ является не только прямоугольным, но и равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Это означает, что катет $BC$ равен катету $AC$.
$BC = AC = 2$.

Теперь, зная длины обоих катетов, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ с помощью теоремы Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
$AB^2 = 2^2 + 2^2$
$AB^2 = 4 + 4$
$AB^2 = 8$
$AB = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Альтернативный способ решения:
Можно использовать тригонометрические функции. Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$:
$\cos(A) = \frac{AC}{AB}$
Отсюда можно выразить гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos(A)}$
Подставляем известные значения $AC = 2$ и $\angle A = 45^\circ$:
$AB = \frac{2}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $2\sqrt{2}$