Номер 25, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 см и 4 см. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. $AB = CD$.

Из вершины тупого угла $B$ опустим перпендикуляр (высоту) $BH$ на большее основание $AD$. Согласно условию, точка $H$ делит основание $AD$ на два отрезка. Обозначим их длины как $l_1 = 10$ см и $l_2 = 4$ см. Таким образом, длина большего основания $AD$ равна сумме длин этих отрезков: $AD = 10 + 4 = 14$ см.

Теперь необходимо определить, какой из отрезков, $AH$ или $HD$, имеет какую длину. Для этого воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. Опустим еще одну высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$.

В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. То есть, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету, т.к. $AB=CD$ и $BH=CK$). Следовательно, $AH = KD$.

Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ (значит, $BC \parallel HK$), а $BH$ и $CK$ — перпендикуляры к $AD$. Отсюда следует, что $BC = HK$.

Длину большего основания $AD$ можно представить как сумму отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Заменив $HK$ на $BC$ и $KD$ на $AH$, получим: $AD = AH + BC + AH = 2 \cdot AH + BC$.

Также мы знаем, что точка $H$ делит $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$, то есть $AD = AH + HD$.

Приравняем два выражения для $AD$:
$2 \cdot AH + BC = AH + HD$
Отсюда выразим длину меньшего основания $BC$:
$BC = (AH + HD) - 2 \cdot AH = HD - AH$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. $AH = 10$ см, а $HD = 4$ см. В этом случае длина меньшего основания $BC$ будет равна $BC = 4 - 10 = -6$ см. Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому этот случай невозможен.

2. $AH = 4$ см, а $HD = 10$ см. В этом случае длина меньшего основания $BC$ будет равна $BC = 10 - 4 = 6$ см. Это значение является допустимым.

Итак, мы нашли длины оснований трапеции: большее основание $AD = 14$ см, меньшее основание $BC = 6$ см.

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле как полусумма ее оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Подставим найденные значения:

$m = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: 10 см.