Номер 1, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 6$.

Найдите $AB$.

1. По условию задачи, в треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, что означает, что треугольник является прямоугольным. Сторона $AC$ и $BC$ являются катетами, а сторона $AB$ — гипотенузой.

Нам даны:

• Прямоугольный треугольник $ABC$
• $\angle C = 90^\circ$
• $\angle A = 30^\circ$
• Катет $AC = 6$

Требуется найти длину гипотенузы $AB$.

Для решения задачи воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

Для угла $A$ имеем:
$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$

Из этой формулы мы можем выразить гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)}$

Подставим известные нам значения: $AC = 6$ и $\angle A = 30^\circ$.
$AB = \frac{6}{\cos(30^\circ)}$

Значение косинуса $30^\circ$ является стандартным тригонометрическим значением: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим это значение в нашу формулу для $AB$:
$AB = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, мы умножаем на перевернутую дробь:
$AB = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$AB = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3}$

Сократим дробь:
$AB = 4\sqrt{3}$

Ответ: $4\sqrt{3}$