Номер 23, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В равнобедренной трапеции большее основание равно 25 см, боковая сторона равна 10 см, угол между ними — $60^\circ$. Найдите меньшее основание.

Пусть дана равнобедренная трапеция, которую мы обозначим как ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее основание, а AB и CD — боковые стороны.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

- Длина большего основания: $AD = 25$ см.
- Длина боковой стороны: $AB = CD = 10$ см.
- Угол между большим основанием и боковой стороной: $\angle DAB = \angle CDA = 60^\circ$.

Для нахождения длины меньшего основания BC, проведем из вершин B и C высоты BE и CF на большее основание AD. Таким образом, мы разделим трапецию на центральный прямоугольник BCFE и два прямоугольных треугольника по бокам: $\triangle ABE$ и $\triangle DCF$.

Так как трапеция равнобедренная, то треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCF$ равны между собой. Это означает, что отрезки, отсекаемые высотами на большем основании, также равны: $AE = FD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE ($\angle AEB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AB = 10$ см и прилежащий к катету AE угол $\angle BAE = 60^\circ$.

Катет AE можно найти через косинус прилежащего угла:

$AE = AB \cdot \cos(\angle BAE)$

Подставим известные значения. Учитывая, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получим:

$AE = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Поскольку $AE = FD$, то $FD = 5$ см.

Большее основание AD состоит из суммы трех отрезков: $AD = AE + EF + FD$. Четырехугольник BCFE является прямоугольником, поэтому его противоположные стороны равны, то есть $EF = BC$.

Теперь мы можем записать уравнение для нахождения BC:

$AD = AE + BC + FD$

$25 = 5 + BC + 5$

$25 = 10 + BC$

$BC = 25 - 10$

$BC = 15$ см.

Ответ: 15 см.