Номер 22, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Основания равнобедренной трапеции равны 12 см и 8 см, один из углов равен $135^\circ$. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, большее основание AD = 12 см, а меньшее основание BC = 8 см.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Тупой угол может находиться только при меньшем основании. Следовательно, углы при основании BC равны 135°, а углы при основании AD равны.

Найдем угол при большем основании, например, угол A ($\angle BAD$).

$\angle BAD + \angle ABC = 180°$

$\angle BAD = 180° - 135° = 45°$

Проведем из вершины B высоту BH на основание AD. Образуется прямоугольный треугольник ABH, где $\angle BHA = 90°$, а $\angle BAH = 45°$.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, найдем угол ABH:

$\angle ABH = 180° - 90° - 45° = 45°$

Поскольку два угла в треугольнике ABH равны ($\angle BAH = \angle ABH = 45°$), он является равнобедренным, и его катеты равны: $AH = BH$. То есть, искомая высота $BH$ равна отрезку $AH$.

Проведем вторую высоту CK из вершины C на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны: $AH = KD$. Четырехугольник HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 8$ см.

Длина большего основания AD складывается из длин отрезков: $AD = AH + HK + KD$.

Так как $AH = KD$, мы можем записать:

$AD = 2 \cdot AH + HK$

Подставим известные значения и найдем длину отрезка AH:

$12 = 2 \cdot AH + 8$

$2 \cdot AH = 12 - 8$

$2 \cdot AH = 4$

$AH = 2$ см.

Поскольку мы установили, что $BH = AH$, то высота трапеции равна 2 см.

Ответ: 2 см.