Страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^\circ$. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна $100$.

Пусть $a$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а $\gamma$ — угол при вершине, противолежащей основанию. По условию задачи, угол $\gamma = 150^\circ$, а площадь треугольника $S = 100$.

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними:$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(\gamma) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\gamma)$.

Подставим известные значения в эту формулу:$100 = \frac{1}{2} a^2 \sin(150^\circ)$.

Для дальнейших вычислений найдем значение $\sin(150^\circ)$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, получим:$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим найденное значение синуса обратно в уравнение для площади:$100 = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{1}{2}$,$100 = \frac{a^2}{4}$.

Выразим из этого уравнения $a^2$:$a^2 = 100 \cdot 4 = 400$.

Чтобы найти длину боковой стороны $a$, извлечем квадратный корень. Поскольку длина стороны должна быть положительным числом, получаем:$a = \sqrt{400} = 20$.

Ответ: 20.

26. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 16. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a = 10$ и основанием $c = 16$.

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$, где $c$ – основание, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Проведем высоту $h$ из вершины треугольника к его основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это означает, что она делит основание на два равных отрезка.

Длина каждого такого отрезка будет равна половине основания: $\frac{c}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой (один катет) и половиной основания (второй катет).

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$a^2 = h^2 + (\frac{c}{2})^2$
$10^2 = h^2 + 8^2$
$100 = h^2 + 64$
$h^2 = 100 - 64$
$h^2 = 36$
$h = \sqrt{36} = 6$

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: 48.

27. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Найдите высоту, проведенную ко второй стороне.

Пусть $a_1$ и $a_2$ – стороны треугольника, а $h_1$ и $h_2$ – высоты, проведенные к этим сторонам соответственно.

По условию задачи даны:
Первая сторона $a_1 = 9$.
Вторая сторона $a_2 = 6$.
Высота, проведенная к первой стороне, $h_1 = 4$.
Требуется найти высоту, проведенную ко второй стороне, $h_2$.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – сторона треугольника (основание), а $h$ – высота, проведенная к этой стороне.

Поскольку площадь треугольника является постоянной величиной, мы можем выразить ее двумя способами, используя известные данные, и приравнять их:
$S = \frac{1}{2} a_1 h_1$ и $S = \frac{1}{2} a_2 h_2$
Следовательно:
$\frac{1}{2} a_1 h_1 = \frac{1}{2} a_2 h_2$

Умножив обе части равенства на 2, получим более простое соотношение:
$a_1 \cdot h_1 = a_2 \cdot h_2$

Теперь подставим известные значения в это уравнение:
$9 \cdot 4 = 6 \cdot h_2$
$36 = 6 \cdot h_2$

Чтобы найти $h_2$, разделим обе части уравнения на 6:
$h_2 = \frac{36}{6}$
$h_2 = 6$

Таким образом, высота, проведенная ко второй стороне, равна 6.
Ответ: 6

28. Две высоты треугольника равны 6 и 9. Угол между ними равен $60^\circ$. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$, противолежащими соответствующим вершинам. Пусть $h_a=6$ и $h_c=9$ — высоты, проведенные к сторонам $BC$ (длиной $a$) и $AB$ (длиной $c$) соответственно. Пусть $B$ — угол между сторонами $a$ и $c$.

Площадь треугольника $S$ можно выразить через сторону и высоту, а также через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

$S = \frac{1}{2} ac \sin(B)$

Угол $\alpha$ между высотами $h_a$ и $h_c$ связан с углом $B$ треугольника. Если рассмотреть четырехугольник, образованный вершиной $B$, точкой пересечения высот (ортоцентром) и основаниями высот на сторонах $a$ и $c$, то можно установить, что угол между высотами равен либо $B$, либо $180^\circ - B$. По условию, этот угол равен $60^\circ$.

Таким образом, у нас есть два возможных случая для угла $B$:

1. Угол $B = 60^\circ$.

2. Угол $180^\circ - B = 60^\circ$, что означает $B = 120^\circ$.

Важно отметить, что в обоих случаях значение $\sin(B)$ будет одинаковым, так как $\sin(60^\circ) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем общий способ решения. Из формул для площади выразим стороны $a$ и $c$:

$a = \frac{2S}{h_a}$

$c = \frac{2S}{h_c}$

Подставим эти выражения в третью формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2S}{h_a} \right) \left( \frac{2S}{h_c} \right) \sin(B)$

Упростим полученное выражение:

$S = \frac{2S^2}{h_a h_c} \sin(B)$

Поскольку площадь треугольника $S$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $S$:

$1 = \frac{2S}{h_a h_c} \sin(B)$

Отсюда выразим площадь $S$:

$S = \frac{h_a h_c}{2 \sin(B)}$

Подставим известные значения: $h_a = 6$, $h_c = 9$ и $\sin(B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$S = \frac{6 \cdot 9}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{54}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S = \frac{54 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{54\sqrt{3}}{3} = 18\sqrt{3}$

Ответ: $18\sqrt{3}$.

29. Площадь треугольника равна 12. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Пусть площадь данного треугольника $S$ равна 12. Треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, называется срединным треугольником.
Свойства срединного треугольника:
1. Его стороны являются средними линиями исходного треугольника.
2. По теореме о средней линии, каждая сторона срединного треугольника параллельна одной из сторон исходного треугольника и равна её половине.
3. Следовательно, срединный треугольник подобен исходному треугольнику. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон, то есть $k = \frac{1}{2}$.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Обозначим площадь искомого треугольника как $S_{нов}$.
$\frac{S_{нов}}{S} = k^2$
Подставим известные значения:
$\frac{S_{нов}}{12} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Теперь найдем $S_{нов}$:
$S_{нов} = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3$
Альтернативное объяснение: три средние линии делят исходный треугольник на четыре треугольника, равных по площади. Один из них — это искомый срединный треугольник, а три других — "угловые" треугольники. Таким образом, площадь каждого из этих четырех треугольников составляет $\frac{1}{4}$ площади исходного треугольника.
$S_{нов} = \frac{S}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: 3.

30. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой, которая связывает площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности:

$S = p \cdot r$

где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Из условия задачи нам даны:

Периметр треугольника $P = 12$.

Радиус вписанной окружности $r = 1$.

Сначала найдем полупериметр $p$. Полупериметр равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2}$

Подставим значение периметра в эту формулу:

$p = \frac{12}{2} = 6$

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы вычислить площадь треугольника. Подставим значения полупериметра $p = 6$ и радиуса $r = 1$ в основную формулу:

$S = 6 \cdot 1 = 6$

Таким образом, площадь треугольника составляет 6 квадратных единиц.

Ответ: 6

31. Основания трапеции равны 1 и 3, высота — 1. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления площади трапеции. Площадь трапеции $S$ равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Формула выглядит следующим образом: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — это длины оснований, а $h$ — высота трапеции.
В условии задачи даны следующие значения:
- Первое основание $a = 1$.
- Второе основание $b = 3$.
- Высота $h = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{1+3}{2} \cdot 1$
Выполним вычисления по шагам:
1. Найдем сумму оснований: $1 + 3 = 4$.
2. Разделим сумму оснований на 2: $\frac{4}{2} = 2$.
3. Умножим полученный результат на высоту: $2 \cdot 1 = 2$.
Таким образом, площадь трапеции равна 2.
Ответ: 2

32. Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• Одно из оснований, пусть это будет $a = 13$
• Высота $h = 5$
• Площадь $S = 50$

Подставим известные значения в формулу площади трапеции: $50 = \frac{13 + b}{2} \cdot 5$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $b$. Сначала выразим сумму оснований. Для этого разделим обе части уравнения на высоту $h=5$: $\frac{50}{5} = \frac{13 + b}{2}$ $10 = \frac{13 + b}{2}$

Далее, умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $10 \cdot 2 = 13 + b$ $20 = 13 + b$

Наконец, найдем $b$, вычитая 13 из обеих частей уравнения: $b = 20 - 13$ $b = 7$

Следовательно, длина второго основания трапеции составляет 7.

Ответ: 7

33. Основания трапеции равны 8 и 14, площадь равна 66. Найдите ее высоту.

34. Равны трапеции равны 10, равны 150. Найд

Для решения задачи используется формула площади трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $S$ — это площадь, $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию нам даны следующие значения:
- меньшее основание $a = 8$
- большее основание $b = 14$
- площадь $S = 66$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти неизвестную высоту $h$:

$66 = \frac{8 + 14}{2} \cdot h$

Сначала вычислим сумму оснований в числителе дроби:
$8 + 14 = 22$

Теперь уравнение выглядит так:
$66 = \frac{22}{2} \cdot h$

Упростим дробь, разделив 22 на 2:
$66 = 11 \cdot h$

Чтобы найти высоту $h$, разделим площадь на получившийся коэффициент:
$h = \frac{66}{11}$
$h = 6$

Ответ: 6

34. Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме её оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.

Из этих двух формул следует, что площадь трапеции можно найти как произведение её средней линии на высоту: $S = m \cdot h$.

Чтобы найти среднюю линию $m$, нужно площадь $S$ разделить на высоту $h$: $m = \frac{S}{h}$.

По условию задачи нам даны площадь $S = 150$ и высота $h = 10$. Подставим эти значения в формулу:

$m = \frac{150}{10} = 15$.

Следовательно, средняя линия трапеции равна 15.

Ответ: 15.

35. Средняя линия трапеции равна 12, площадь равна 96. Найдите высоту трапеции.

Площадь трапеции ($S$) может быть вычислена по формуле через ее среднюю линию ($m$) и высоту ($h$):

$S = m \cdot h$

В условии задачи нам даны следующие значения:

Средняя линия $m = 12$.

Площадь $S = 96$.

Чтобы найти высоту трапеции, необходимо выразить $h$ из формулы площади:

$h = \frac{S}{m}$

Теперь подставим известные значения в эту формулу и выполним вычисление:

$h = \frac{96}{12} = 8$

Таким образом, высота трапеции составляет 8.

Ответ: 8.

36. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол трапеции.

Пусть основания прямоугольной трапеции равны $a = 12$ и $b = 4$, а ее площадь $S = 64$. Высота трапеции, обозначим ее $h$, в прямоугольной трапеции совпадает с боковой стороной, перпендикулярной основаниям.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Подставим известные значения, чтобы найти высоту трапеции:

$64 = \frac{12+4}{2} \cdot h$

$64 = \frac{16}{2} \cdot h$

$64 = 8 \cdot h$

$h = \frac{64}{8} = 8$

Таким образом, высота трапеции равна 8.

Чтобы найти острый угол, проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Эта высота отсечет от трапеции прямоугольный треугольник. Один катет этого треугольника равен высоте трапеции, то есть 8. Другой катет равен разности длин оснований:

$a - b = 12 - 4 = 8$

Итак, мы имеем прямоугольный треугольник, у которого оба катета равны 8. Такой треугольник является равнобедренным.

Острый угол трапеции, обозначим его $\alpha$, является одним из углов этого прямоугольного треугольника. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{8}{8} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

37. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию, основания равнобедренной трапеции равны $a = 26$ и $b = 14$, а боковые стороны равны $c = 10$. Чтобы найти площадь, нам необходимо сначала вычислить высоту трапеции.

Проведем из вершин меньшего основания две высоты на большее основание. Эти высоты отсекут от трапеции два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник. Основание прямоугольника будет равно меньшему основанию трапеции, то есть 14.

Оставшаяся часть большего основания состоит из двух равных отрезков, которые являются катетами прямоугольных треугольников. Длину каждого такого отрезка можно найти следующим образом:

$\frac{a-b}{2} = \frac{26 - 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это боковая сторона трапеции, равная 10;
• один катет — это найденный отрезок, равный 6;
• второй катет — это высота трапеции $h$.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 + 36 = 100$

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$

Теперь, когда мы знаем высоту, мы можем найти площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{26+14}{2} \cdot 8 = \frac{40}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160$.

Ответ: 160.

38. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

38. Пусть дана трапеция, у которой основания равны $a = 18$ и $b = 6$. Боковая сторона $c$ равна 7 и образует с одним из оснований угол $150^\circ$. Нам нужно найти площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Для вычисления площади нам необходимо найти высоту $h$.В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Угол $150^\circ$ является тупым, такой угол в трапеции обычно находится при меньшем основании. Следовательно, угол при большем основании, прилежащий к той же боковой стороне, будет острым и равен:$\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Теперь проведем высоту из вершины, где сходятся боковая сторона и меньшее основание, к большему основанию. Эта высота образует прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это боковая сторона, равная 7;
• один из острых углов равен $30^\circ$;
• катет, противолежащий этому углу, является высотой трапеции $h$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Таким образом, мы можем найти высоту $h$:$h = c \cdot \sin(30^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5$

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{18 + 6}{2} \cdot 3.5 = \frac{24}{2} \cdot 3.5 = 12 \cdot 3.5 = 42$

Ответ: 42

39. Площадь треугольника $ABC$ равна 12. $DE$ — средняя линия.

Найдите площадь трапеции $ABDE$.

Пусть дан треугольник $ABC$, площадь которого $S_{ABC} = 12$. $DE$ — его средняя линия. По определению, средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника. Допустим, точка $D$ — середина стороны $AC$, а точка $E$ — середина стороны $BC$.

Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине. Таким образом, $DE \parallel AB$. Это означает, что четырехугольник $ABDE$ является трапецией.

Средняя линия $DE$ отсекает от треугольника $ABC$ треугольник $CDE$. Рассмотрим треугольники $CDE$ и $CAB$.
1. Угол $C$ у них общий.
2. Углы $\angle CDE$ и $\angle CAB$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$.
Следовательно, треугольник $CDE$ подобен треугольнику $CAB$ (по двум углам), $\triangle CDE \sim \triangle CAB$.

Найдем коэффициент подобия $k$. Он равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB}$.
Поскольку $D$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $BC$, то $CD = \frac{1}{2}CA$ и $CE = \frac{1}{2}CB$.
Значит, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия: $\frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Зная площадь треугольника $ABC$, можем найти площадь треугольника $CDE$: $S_{CDE} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$.

Площадь трапеции $ABDE$ равна разности площадей треугольника $ABC$ и треугольника $CDE$: $S_{ABDE} = S_{ABC} - S_{CDE}$.

Вычислим площадь трапеции: $S_{ABDE} = 12 - 3 = 9$.

Ответ: 9.

40. Средняя линия трапеции равна $10$. Радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = m \cdot h$, где $m$ — это средняя линия, а $h$ — высота трапеции.

Согласно условию задачи, средняя линия трапеции $m = 10$.

Если в трапецию можно вписать окружность, то ее высота равна диаметру этой окружности. Радиус вписанной окружности задан и равен $r = 4$.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть двум ее радиусам: $h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$.

Теперь, зная среднюю линию и высоту, мы можем вычислить площадь трапеции: $S = m \cdot h = 10 \cdot 8 = 80$.

Ответ: 80.

1. На координатной плоскости изобразите точки $A(1; 2)$, $B(3; 1)$, $C(2; 4)$, $D(-2; 3)$, $E(-3; -2)$, $F(2; -3)$.

Для того чтобы изобразить точку на координатной плоскости по её координатам $(x; y)$, необходимо выполнить следующие шаги. Координата $x$ (абсцисса) указывает положение точки по горизонтальной оси (оси Ox), а координата $y$ (ордината) — по вертикальной оси (оси Oy).

Построим каждую из заданных точек:

Точка A(1; 2). Для построения этой точки от начала координат $(0; 0)$ смещаемся на 1 единицу вправо по оси Ox (так как абсцисса $x=1$ положительна) и затем на 2 единицы вверх параллельно оси Oy (так как ордината $y=2$ положительна).

Точка B(3; 1). От начала координат смещаемся на 3 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх параллельно оси Oy.

Точка C(2; 4). От начала координат смещаемся на 2 единицы вправо по оси Ox и на 4 единицы вверх параллельно оси Oy.

Точка D(-2; 3). Поскольку абсцисса $x=-2$ отрицательна, от начала координат смещаемся на 2 единицы влево по оси Ox. Затем, поскольку ордината $y=3$ положительна, смещаемся на 3 единицы вверх.

Точка E(-3; -2). Абсцисса $x=-3$ и ордината $y=-2$ отрицательны. От начала координат смещаемся на 3 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.

Точка F(2; -3). Абсцисса $x=2$ положительна, а ордината $y=-3$ отрицательна. От начала координат смещаемся на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вниз по оси Oy.

Ниже представлено изображение координатной плоскости с отмеченными точками A, B, C, D, E, F.

Ответ: Точки A(1; 2), B(3; 1), C(2; 4), D(-2; 3), E(-3; -2), F(2; -3) изображены на представленной координатной плоскости.